Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe b (4 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene

E

, in der die Seitenfläche

B S T C

liegt, in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: $E : 3 x_{2} + 4 x_{3} - 24 = 0$ )

Lösung zu Teilaufgabe b

Ebene aus drei Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Richtungsvektoren der Ebene bestimmen:

\vec{B C} = \vec{C} - \vec{B} = (\begin{matrix} 10 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 10 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 3 \end{matrix})

\vec{B S} = \vec{S} - \vec{B} = (\begin{matrix} 2 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 10 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

B

sei der Aufpunkt der Ebene.

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

\vec{B C} \times \vec{B S} = (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 24 \\ - 32 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = - \frac{1}{8} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 24 \\ - 32 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E^{N} : \vec{X} \circ \vec{n_{E}} = \vec{P} \circ \vec{n_{E}}

Hier (

B

ist Aufpunkt):

E^{N} : \vec{X} \circ (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})

\Leftrightarrow

3 x_{2} + 4 x_{3} = 24

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe a

Teilaufgabe b

Teilaufgabe c

Teilaufgabe d

Teilaufgabe e

Teilaufgabe f

Teilaufgabe g

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!