Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe a (6 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte

A (10 | 2 | 0)

B (10 | 8 | 0)

C (10 | 4 | 3)

R (2 | 2 | 0)

S (2 | 8 | 0)

und

T (2 | 4 | 3 |)

gegeben.
Der Körper

A B C R S T

ist ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Grundfläche

A B C

, der Deckfläche

R S T

und rechteckigen Seitenflächen.

Zeichnen Sie das Prisma in ein kartesisches Koordinatensystem (vgl. Abbildung) ein. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Grundfläche

A B C

? Berechnen Sie das Volumen des Prismas.

Lösung zu Teilaufgabe a

Skizze

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Besondere Lage im Koordinatensystem

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Die Grundfläche

A B C

ist parallel zur

x_{2} x_{3}

-Ebene bzw. steht senkrecht auf der

x_{1} x_{2}

-Ebene.

Schritt einblenden / ausblenden

Punktkoordinaten

Die Punkte

A

B

und

C

haben alle die gleiche

x_{1}

-Koordinate 10. Deswegen bilden sie eine Ebene (bzw. Grundfläche) die parallel zur

x_{2} x_{3}

-Ebene ist (parallel, da die

x_{1}

-Koordinate nicht 0 ist) bzw. senkrecht auf der

x_{1} x_{2}

-Ebene steht.

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Vektoren

\vec{A B}

und

\vec{A C}

bestimmen:

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 10 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A C} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{matrix} 10 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

Flächeninhalt

A_{A B C}

des Dreiecks

A B C

(Grundfläche des Prismas) bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt

A

eines beliebigen Dreiecks

A B C

ist gegeben durch:

A = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} |

Bemerkung:

Die Vektoren

\vec{A B}

und

\vec{A C}

stehen repräsentativ für zwei Vektoren aus dem Dreieck

A B C

, es müssen nicht immer diese verwendet werden.

A_{A B C} = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} |

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \cdot 3 - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 0 - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot 2 - 6 \cdot 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

A_{A B C} = \frac{1}{2} | (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) |

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

A_{A B C} = \frac{1}{2} | (\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) | = \frac{1}{2} \sqrt{18^{2} + 0 + 0} = 9

Volumen eines Prismas

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Höhe

[A R]

des Prismas bestimmen:

\vec{A R} = \vec{R} - \vec{A} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

h = \bar{A R} = | \vec{A R} | = | (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{(- 8)^{2} + 0 + 0} = 8

Volumen des Prismas bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Prismas

Das Volumen

V

eines Prismas mit Grundfläche

G

und Höhe

h

ist gegeben durch:

V = G \cdot h

V = G \cdot h = A_{A B C} \cdot \bar{A R} = 9 \cdot 8 = 72

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Lösungen zu:

Teilaufgabe a

Teilaufgabe b

Teilaufgabe c

Teilaufgabe d

Teilaufgabe e

Teilaufgabe f

Teilaufgabe g

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Themen dieser Aufgabe:

Skizze

Besondere Lage im Koordinatensystem

Flächeninhalt eines Dreiecks

Volumen eines Prismas

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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