Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe f (6 BE)

Das Prisma ist das Modell eines Holzkörpers, der auf einer durch die

x_{1} x_{2}

-Ebene beschriebenen horizontalen Fläche liegt. Der Punkt

M (5 | 6, 5 | 3)

ist der Mittelpunkt einer Kugel, die die Seitenfläche

B S T C

im Punkt

W

berührt.

Berechnen Sie den Radius

r

der Kugel sowie die Koordinaten von

W

(Teilergebnis: $r = 1, 5$ )

Lösung zu Teilaufgabe f

Lotfußpunkt auf eine Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Seitenfläche

B S T C

liegt in der Ebene

E

(siehe Teilaufgabe b). Die Kugel mit Mittelpunkt

M

berührt somit die Ebene

E

im Punkt

W

Lotgerade

l

durch

M

und senkrecht zu

E : 3 x_{2} + 4 x_{3} = 24

aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Lotgerade auf einer Ebene

Eine Gerade

l

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

l : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

λ \in ℝ

Die Lotgerade

l

geht durch den Punkt

M

und steht senkrecht zur Ebene

E

. Der Ortsvektor des Aufpunkts ist somit

\vec{M}

und der Richtungsvektor ist gleich dem Normalenvektor der Ebene

\vec{n_{E}}

, da dieser senkrecht zur Ebene

E

steht.

l : \vec{X} = \vec{M} + λ \cdot \vec{n_{E}}

λ \in ℝ

l : \vec{X} = (\begin{matrix} 5 \\ 6, 5 \\ 3 \end{matrix}) + μ \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})}}

Lotgerade

l

mit Ebene

E

schneiden:

l \cap E

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E^{N}

ein und löst nach

λ

auf.

Hier wird also

l

E^{N}

eingesetzt und nach

μ

aufgelöst.

3 \cdot (6, 5 + 3 μ) + 4 \cdot (3 + 4 μ) = 24

19, 5 + 9 μ + 12 + 16 μ = 24

25 μ = - 7, 5

μ = - 0, 3

μ = - 0, 3

l

einsetzen und Lotfußpunkt

W

bestimmen:

\vec{W} = (\begin{matrix} 5 \\ 6, 5 \\ 3 \end{matrix}) - 0, 3 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 5, 6 \\ 1, 8 \end{matrix})

\Rightarrow

W (5 | 5, 6 | 1, 8)

Länge eines Vektors

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Radius

r

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Radius

r

der Kugel entspricht dem Abstand zwischen dem Punkt

W

und dem Mittelpunkt

M

r = \bar{M W} = | \vec{M W} | = | \vec{W} - \vec{M} |

r = | (\begin{matrix} 5 \\ 5, 6 \\ 1, 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 \\ 6, 5 \\ 3 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} 0 \\ - 0, 9 \\ - 1, 2 \end{matrix}) |

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

r = \sqrt{0 + (- 0, 9)^{2} + (- 1, 2)^{2}} = \sqrt{2, 25} = 1, 5

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Berechnung des Radius ohne Punkt

W

:

Hesse-Normalenform der Ebene

E

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform

E^{N}

der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors.

E^{N} : \vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d = 0

\Rightarrow E^{H N F} : \frac{\vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} = 0

d

ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus

\vec{n_{E}}

und dem Ortsvektor des Aufpunkts von

E

| \vec{n_{E}} | = | (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) | = \sqrt{0 + 3^{2} + 4^{2}} = 5

E^{H N F} : \frac{1}{5} (3 x_{2} + 4 x_{3} - 24) = 0

Abstand Punkt

M

zur Ebene

E

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

P

in die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

der Ebene

E

, bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene.

E^{H N F} : \frac{\vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} = 0

\Rightarrow d (P, E) = \frac{\vec{P} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |}

d

ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus

\vec{n_{E}}

und dem Ortsvektor des Aufpunkts von

E

r = d (M; E) = \frac{1}{5} (3 \cdot 6, 5 + 4 \cdot 3 - 24) = 1, 5

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Lösungen zu:

Teilaufgabe a

Teilaufgabe b

Teilaufgabe c

Teilaufgabe d

Teilaufgabe e

Teilaufgabe f

Teilaufgabe g

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Lotfußpunkt auf eine Ebene

Länge eines Vektors

Alternative Lösung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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