Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 3a (5 BE)

Gegeben ist die Schar der Funktionen

f_{a} : x \mapsto 6 \cdot e^{- 0, 5 x} - a \cdot x

mit

a \in ℝ^{+}

und Definitionsmenge

ℝ

Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar die

y

-Achse im selben Punkt schneiden und in

ℝ

streng monoton fallend sind. Zeigen Sie, dass

lim_{x \to + \infty} f_{a} (x) = - \infty

gilt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 3a

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

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y

-Achsenabschnitt bestimmen:

f_{a} (0) = 6 \cdot \underset{1}{\underset{︸}{e^{- 0, 5 \cdot 0}}} - a \cdot 0 = 6

Der

y

-Achsenabschnitt ist unabhängig von

a

. Alle Funktionen der Schar schneiden somit die

y

-Achse im selben Punkt.

Monotonieverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Erste Ableitung bilden:

f^{'} (x) = - 3 \cdot e^{- 0, 5 x} - a

Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen:

f^{'} (x) = \underset{< 0}{\underset{︸}{- 3 \cdot \underset{> 0}{\underset{︸}{e^{- 0, 5 x}}}}}

\underset{< 0}{\underset{︸}{- a}} < 0

Schritt einblenden / ausblenden

Monotonieverhalten einer Funktion

Für stetige Funktionen besteht eine Beziehung zwischen Monotonie und Ableitung, da die Ableitung die Steigung der Funktion angibt.

Es gilt:

f^{'} (x) > 0 :

Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f^{'} (x) < 0 :

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

\Rightarrow

streng monoton fallend für alle

a \in ℝ^{+}

Grenzwert bestimmen

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lim_{x \to + \infty} f_{a} (x) = lim_{x \to + \infty} \underset{\to 0}{\underset{︸}{6 \cdot e^{- 0, 5 x}}}

\underset{\to - \infty}{\underset{︸}{- a \cdot x}} = - \infty

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Monotonieverhalten einer Funktion

Grenzwert bestimmen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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