Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 2c (6 BE)

Bestimmen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das

G_{h}

, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung

x = 5

einschließen. Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 2c

Flächenberechnung

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Bestimmtes Integral

Die Fläche die der Graph von

h

mit den Koordinatenachse und der Geraden

x = 5

einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

\int_{0}^{5} h (x) d x

Flächeninhalt:

A

=

\int_{0}^{5} h (x) d x

=

\int_{0}^{5} (6 \cdot e^{- 0, 5 x} + 1, 5) d x

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Rechenregeln für Integrale

Allgemein gelten folgende Rechenregeln für Integrale:

\int_{a}^{b} c \cdot f (x) d x

=

c \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x

\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x

=

\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

=

6 \cdot \int_{0}^{5} e^{- 0, 5 x} d x

+

\int_{0}^{5} 1, 5 d x

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Eine Stammfunktion von

e^{- 0, 5 x}

wird mit folgender Integrationsregel gebildet (siehe Merkhilfe Seite 3):

\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b)

Mit

a = - 0, 5

und

b = 0

gilt somit:

\int e^{- 0, 5 x} d x = \frac{1}{- 0, 5} \cdot e^{- 0, 5 x}

=

{[\frac{6}{- 0, 5} \cdot e^{- 0, 5 x} + 1, 5 x]}_{0}^{5}

=

(- 12 \cdot e^{- 2, 5} + 7, 5) - (- 12 + 0)

=

19, 5 - 12 \cdot e^{- 2, 5}

\approx

18, 5

\Rightarrow

Die Maschine stößt in den ersten fünf Minuten ca. 18,5 mg Schadstoff aus.

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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