Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1f (8 BE)

Auf besonderes Interesse stößt die Seitenfläche des Marmorkörpers, die im Modell mit

B C C^{'} B^{'}

bezeichnet wurde. Zeigen Sie, dass die Geraden

B C

und

B^{'} C^{'}

den Abstand

6 \sqrt{5}

besitzen und berechnen Sie den Inhalt dieser Seitenfläche im Modell.

Lösung zu Teilaufgabe 1f

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Aus den vorherigen Teilaufgaben sind gegeben:

B (- 6 | - 12 | 12)

\vec{B C} = 12 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})

Gerade

B C

durch

B

und

C

bestimmen:

\frac{1}{12} \cdot \vec{B C} = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})

ist Richtungsvektor der Geraden.

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

l

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

l : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

λ \in ℝ

Wenn

B

als Aufpunkt genommen wird, dann ist

\vec{B}

der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden

B C

B C : \vec{X} = (\begin{matrix} - 6 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})

Abstand paralleler Geraden

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Der Abstand zwischen den Geraden

B C

und

B^{'} C^{'}

entspricht dem Abstand des Punktes

B^{'} (12 | - 12 | 12)

von der Geraden

B C

d (B C, B^{'} C^{'}) = d (B^{'}, B C)

Ebene

H

in Normalenform aufstellen, die als Aufpunkt

B^{'}

hat und senkrecht zu

B C

verläuft.

Schritt einblenden / ausblenden

Ebenengleichung

Eine Ebene

H

ist durch einen Punkt

P

und einen Normalenvektor

\vec{n_{H}}

eindeutig bestimmt. Die Ebenengleichung (in Normalenform) lautet:

H^{N} : [\vec{X} - \vec{P}] \circ \vec{n_{H}} = 0

Hier ist der Normalenvektor gleich dem Richtungsvektor der Geraden

B C

, da die Ebene senkrecht zu ihr stehen soll:

\vec{n_{H}} = \frac{1}{6} \vec{B C}

H : [\vec{X} - (\begin{matrix} 12 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) = 0

H : 2 x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} - 36 = 0

Schnittpunkt

F

von

B C

mit

H

ermitteln:

B C \cap H

B C

H

einsetzen:

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

F

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E^{N}

ein und löst nach

λ

auf.

2 (- 6 + 2 λ) - 2 (- 12 - 2 λ) - (12 - λ) - 36 = 0

- 12 + 4 λ + 24 + 4 λ - 12 + λ - 36 = 0

9 λ = 36

\Rightarrow λ = 4

λ = 4

B C

einsetzen, um

F

zu erhalten:

\vec{F} = (\begin{matrix} - 6 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 20 \\ 8 \end{matrix})

| \vec{F B^{'}} |

berechnen:

d (B^{'}, B C) = | \vec{F B^{'}} | = | \vec{B^{'}} - \vec{F} | = | (\begin{matrix} 12 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 20 \\ 8 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} 10 \\ 8 \\ 4 \end{matrix}) |

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

d (B^{'}, B C) = \sqrt{{(\begin{matrix} 10 \\ 8 \\ 4 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{10^{2} + 8^{2} + 4^{2}} = \sqrt{180} = 6 \sqrt{5}

Flächeninhalt eines Trapezes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Aus vorherigen Teilaufgaben ist bekannt:

\bar{B C} = 36

\bar{B^{'} C^{'}} = 12

Flächeninhalt des Trapezes

B C C^{'} B^{'}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Fläche eines Trapezes

Sind

a

und

c

die Grundseiten und

h

die Höhe, dann ist der Flächeninhalt des Trapezes gegeben durch:

A = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h

A_{B C C^{'} B^{'}} = \frac{1}{2} \cdot (\bar{B C} + \bar{B^{'} C^{'}}) \cdot \bar{F B^{'}} = \frac{1}{2} \cdot (36 + 12) \cdot 6 \sqrt{5} = 144 \sqrt{5} \approx 322

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 1g

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Abstand paralleler Geraden

Flächeninhalt eines Trapezes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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