Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (8 BE)

Exakte Messungen am Marmorkörper zeigen, dass der Punkt

D

im Modell die Lage des vierten Eckpunkts der Grundfläche beschreibt.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene

E

, die die Grundfläche

A B C D

enthält, in Normalenform. Weisen Sie nach, dass die Deckfläche parallel zur Grundfläche ist und von dieser den Abstand

12

hat.

[mögliches Teilergebnis: $E : 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 0$ ]

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

\vec{A} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

ist Ortsvektor (des Aufpunkts) der Ebene

E

\vec{A B} = (\begin{matrix} - 6 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix})

und

\vec{B C} = (\begin{matrix} 24 \\ - 24 \\ - 12 \end{matrix})

(in Teilaufgabe 1b berechnet) sind Richtungsvektoren der Ebene

E

.

Richtungsvektoren vereinfachen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vereinfachen

Die Länge eines Richtungsvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Richtungsvektors muss nur die Richtung angeben.
Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor sind erlaubt.

Hier werden die Richtungsvektoren durch

6

bzw. durch

12

geteilt.

Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich.

\frac{1}{6} \cdot \vec{A B} = \frac{1}{6} \cdot (\begin{matrix} - 6 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

\frac{1}{12} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{12} \cdot (\begin{matrix} 24 \\ - 24 \\ - 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

aus den beiden (vereinfachten) Richtungsvektoren bestimmen:

\vec{A B} \times \vec{B C} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} (- 2) \cdot (- 1) - 2 \cdot (- 2) \\ 2 \cdot 2 - (- 1) \cdot (- 1) \\ (- 1) \cdot (- 2) - (- 2) \cdot 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix})

\vec{A B} \times \vec{B C} = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix})

Normalenvektor vereinfachen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vereinfachen

Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen.
Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor sind erlaubt.

Hier wird der Normalenvektor durch

3

geteilt.

Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich.

\vec{n_{E}} = \frac{1}{3} \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Normalenform

E^{N}

der Ebene

E

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E^{N} : [\vec{X} - \vec{P}] \circ \vec{n_{E}} = 0

Hier (

A

ist Aufpunkt):

E^{N} : [\vec{X} - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = 0

Kann auch geschrieben werden:

\vec{X} \circ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

E^{N} : \vec{X} \circ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

E^{N} : 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 0

Lagebeziehung von Ebenen

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Die Ebene mit Aufpunkt

A^{'}

und Richtungsvektoren

\vec{A^{'} B^{'}} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix})

und

\vec{B^{'} C^{'}} = (\begin{matrix} 8 \\ - 8 \\ 4 \end{matrix})

enthält die Deckenfläche

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

.

Vereinfachen der Richtungsvektoren ergibt:

\frac{1}{2} \cdot \vec{A^{'} B^{'}} = \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{1}{6} \cdot \vec{A B}

\frac{1}{4} \cdot \vec{B^{'} C^{'}} = \frac{1}{4} \cdot (\begin{matrix} 8 \\ - 8 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{1}{12} \cdot \vec{B C}

Die (vereinfachten) Richtungsvektoren der Ebene

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

entsprechen den Richtungsvektoren der Ebene

A B C D

. Die aus den Richtungsvektoren resultierenden Normalenvektoren sind gleich. Somit sind Grundfläche und Deckfläche des Marmorkörpers parallel.

Abstand paralleler Ebenen

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Betrag des Normalenvektors

\vec{n_{E}}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{n_{E}} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3

Hesse-Normalenform

E^{H N F}

der Ebene

E

aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform

E^{N}

der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors.

E^{N} : \vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d = 0

\Rightarrow E^{H N F} : \frac{\vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} = 0

d

ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus

\vec{n_{E}}

und dem Ortsvektor des Aufpunkts von

E

E^{H N F} : \frac{1}{3} \cdot (2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3}) = 0

Abstand der Ebene

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

von der Ebene

E

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand paralleler Ebenen

Der Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen entspricht dem Abstand eines beliebigen Punkts der einen Ebene zur anderen Ebene.

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

S

in die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

der Ebene

E

(zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene.

E^{H N F} : \frac{\vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} = 0

\Rightarrow d (S, E) = | \frac{\vec{S} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} |

d

ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus

\vec{n_{E}}

und dem Ortsvektor des Aufpunkts von

E

d (A^{'}, E) = \frac{1}{3} \cdot (2 \cdot 14 - 8 + 2 \cdot 8) = 12

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Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1c

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Teilaufgabe 1e

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Teilaufgabe 1g

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Themen dieser Aufgabe:

Ebenengleichung in Normalenform

Lagebeziehung von Ebenen

Abstand paralleler Ebenen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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