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Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie VI
Teilaufgabe 1c (8 BE)
Exakte Messungen am Marmorkörper zeigen, dass der Punkt im Modell die Lage des vierten Eckpunkts der Grundfläche beschreibt.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene , die die Grundfläche enthält, in Normalenform. Weisen Sie nach, dass die Deckfläche parallel zur Grundfläche ist und von dieser den Abstand hat.
[mögliches Teilergebnis: ]
Lösung zu Teilaufgabe 1c
Ebenengleichung in Normalenform

ist Ortsvektor (des Aufpunkts) der Ebene .
und (in Teilaufgabe 1b berechnet) sind Richtungsvektoren der Ebene .
Richtungsvektoren vereinfachen:
Schritt einblenden / ausblenden
Normalenvektor der Ebene aus den beiden (vereinfachten) Richtungsvektoren bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
Normalenvektor vereinfachen:
Schritt einblenden / ausblenden
Normalenform der Ebene :
Schritt einblenden / ausblenden
Lagebeziehung von Ebenen
Die Ebene mit Aufpunkt und Richtungsvektoren und enthält die Deckenfläche .
Vereinfachen der Richtungsvektoren ergibt:
Die (vereinfachten) Richtungsvektoren der Ebene entsprechen den Richtungsvektoren der Ebene . Die aus den Richtungsvektoren resultierenden Normalenvektoren sind gleich. Somit sind Grundfläche und Deckfläche des Marmorkörpers parallel.
Vereinfachen der Richtungsvektoren ergibt:
Die (vereinfachten) Richtungsvektoren der Ebene entsprechen den Richtungsvektoren der Ebene . Die aus den Richtungsvektoren resultierenden Normalenvektoren sind gleich. Somit sind Grundfläche und Deckfläche des Marmorkörpers parallel.
Abstand paralleler Ebenen
Betrag des Normalenvektors bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
Hesse-Normalenform der Ebene aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
Abstand der Ebene von der Ebene bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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