Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (6 BE)

Durch Berechnungen wird bestätigt, dass der Marmorkörper die Form eines Pyramidenstumpfs hat. Im Modell wird für weitere Überlegungen auch die zum Stumpf gehörige Pyramide mit Grundfläche

A B C D

betrachtet.

Berechnen Sie die Höhe

h

dieser Pyramide.

[Ergebnis: $h = 18$ ]

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gerade

g

durch

B

und

B^{'}

bestimmen:

B (- 6 | - 12 | 12)

B^{'} (12 | - 12 | 12)

Richtungsvektor der Geraden

g

\vec{B B^{'}} = \vec{B^{'}} - \vec{B} = (\begin{matrix} 12 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 6 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Gleichung der Geraden

g

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + μ \cdot \vec{v}

μ \in ℝ

Wenn

B

als Aufpunkt genommen wird, dann ist

\vec{B}

der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden

g

g : \vec{X} = (\begin{matrix} - 6 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Gerade

k

durch

C

und

C^{'}

bestimmen:

C (18 | - 36 | 0)

C^{'} (20 | - 20 | 8)

Richtungsvektor der Geraden

k

\vec{C C^{'}} = \vec{C^{'}} - \vec{C} = (\begin{matrix} 20 \\ - 20 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 18 \\ - 36 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 16 \\ 8 \end{matrix})

Gleichung der Geraden

k

k : \vec{X} = (\begin{matrix} 18 \\ - 36 \\ 0 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 16 \\ 8 \end{matrix})

Schnitt zweier Geraden

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Geraden

g

und

k

schneiden:

g \cap k

Gleichsetzen der beiden Geraden:

(\begin{matrix} - 6 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 18 \\ - 36 \\ 0 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 16 \\ 8 \end{matrix})

(\begin{matrix} - 24 \\ 24 \\ 12 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = μ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 16 \\ 8 \end{matrix})

\begin{matrix} - 24 + 18 λ = 2 μ & (I) \\ 24 = 16 μ & (II) \\ 12 = 8 μ & (I) \end{matrix} \begin{matrix} \Rightarrow \\ \Rightarrow \end{matrix} \begin{matrix} μ = \frac{3}{2} \\ μ = \frac{3}{2} \end{matrix}

Parameter

μ = \frac{3}{2}

in die Geradengleichung

k

einsetzen:

\vec{X} = (\begin{matrix} 18 \\ - 36 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{3}{2} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 16 \\ 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 21 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix})

\Rightarrow S (21 | - 12 | 12)

ist Schnittpunkt der Geraden

g

und

k

\Rightarrow S (21 | - 12 | 12)

ist die Spitze der Pyramide.

Abstand Punkt - Ebene

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Die Höhe

h

der Pyramide entspricht dem Abstand der Spitze

S

von der Ebene

E

, die die Grundfläche

A B C D

der Pyramide enthält.

Aus Teilaufgabe 1c ist die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

der Ebene

E

bekannt:

E^{H N F} : \frac{1}{3} \cdot (2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3}) = 0

Höhe

h

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

P

in die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

der Ebene

E

(zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand

d (P, E)

des Punktes zur Ebene.

Beispiel:

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

P (1 | 3 | - 6)

d (P, E) = | \frac{1}{3} \cdot (1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot (- 6) - 4) | = | - \frac{9}{3} | = 3

h = d (S, E) = | \frac{1}{3} \cdot (2 \cdot 21 - 12 + 2 \cdot 12) | = 18

Alternative Lösung

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\bar{A B} = | (\begin{matrix} - 6 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) | = 18

\bar{A^{'} B^{'}} = 6

h = 12

Betrachtet werden die zwei ähnliche Dreiecke, die die Spitze der Pyramide mit den Seiten

[B C]

und

[A D]

und

[B^{'} C^{'}]

und

[A^{'} D^{'}]

bilden, wenn diese senkrecht zur Grundfläche geschnitten wird.

Das größere Dreieck entsteht aus dem kleinerem Dreieck durch zentrische Streckung, wenn die Spitze der Pyramide als Streckenzentrum angesehen wird.

Für die ähnlichen Strecken gilt somit:

\frac{6}{18} = \frac{h - 12}{h} | \cdot 3 h

h = 3 h - 36

\Rightarrow h = 18

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Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1g

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Schnitt zweier Geraden

Abstand Punkt - Ebene

Alternative Lösung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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