Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1e (5 BE)

Bestimmen Sie das Volumen des Pyramidenstumpfs.

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Volumen einer Pyramide

Aus den vorherigen Teilaufgaben ist bekannt:

\vec{A B} = 6 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

\vec{B C} = 12 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})

A_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = 72

(Grundfläche der Pyramide

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} S

)

h = 18

(Höhe der Pyramide

A B C D S

)

d = 12

(Höhe des Pyramidenstumpfs)

Nebenrechnung:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

\bar{A B} = | 6 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) | = 6 \cdot | (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) | = 6 \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})}^{2}} = 6 \cdot \sqrt{(- 1)^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2}} = 18

\bar{B C} = | 12 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) | = 12 \cdot | (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) | = 12 \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})}^{2}} = 12 \cdot \sqrt{2^{2} + (- 2)^{2} + (- 1)^{2}} = 36

\Rightarrow A_{A B C D} = \bar{A B} \cdot \bar{B C} = 18 \cdot 36 = 648

(Grundfläche der Pyramide

A B C D S

)

Volumen der Pyramide

A B C D S

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{A B C D S} = \frac{1}{3} \cdot A_{A B C D} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 648 \cdot 18 = 3888

Volumen der Pyramide

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} S

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Höhe der Pyramide

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

ist gleich der Höhe

h

der Pyramide

A B C D S

minus die Höhe des Pyramidenstumpfs.

V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} S} = \frac{1}{3} \cdot A_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} \cdot (h - 12) = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 6 = 144

Volumen des Pyramidenstumpfs bestimmen:

V_{Stumpf} = V_{A B C D S} - V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} S} = 3888 - 144 = 3744

Alternative Lösung

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Berechnung von

V_{Stumpf}

mit der Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfs:

V_{Stumpf} = \frac{d}{3} \cdot (A_{A B C D} + A_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} + \sqrt{A_{A B C D} \cdot A_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}})

V_{Stumpf} = \frac{12}{3} \cdot (648 + 72 + \sqrt{648 \cdot 72}) = 3744

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen einer Pyramide

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