Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (5 BE)

Auf dem Boden des Mittelmeeres wurde ein antiker Marmorkörper entdeckt, der ersten Unterwasseraufnahmen zufolge die Form eines Pyramidenstumpfs besitzen könnte. Mithilfe eines Peilungssystem konnte die Lage von sieben der acht Eckpunkte ermittelt und zur weiteren Analyse des Körpers in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt werden:

A (0 | 0 | 0)

B (- 6 | - 12 | 12)

und

C (18 | - 36 | 0)

sind Eckpunkte der Grundfläche,

A^{'} (14 | - 8 | 8)

B^{'} (12 | - 12 | 12)

C^{'} (20 | - 20 | 8)

und

D^{'} (22 | - 16 | 4)

die Eckpunkte der Deckfläche (vgl. Abbildung).

Zeigen Sie, dass die Deckfläche

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

ein Rechteck ist und den Inhalt

72

besitzt.

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Lagebeziehung von Vektoren

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A^{'} (14 | - 8 | 8)

B^{'} (12 | - 12 | 12)

C^{'} (20 | - 20 | 8)

D^{'} (22 | - 16 | 4)

Vektoren

\vec{A^{'} B^{'}}

und

\vec{B^{'} C^{'}}

bestimmen:

\vec{A^{'} B^{'}} = \vec{B^{'}} - \vec{A^{'}} = (\begin{matrix} 12 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 14 \\ - 8 \\ 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix}) = 2 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

\vec{B^{'} C^{'}} = \vec{C^{'}} - \vec{B^{'}} = (\begin{matrix} 20 \\ - 20 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 12 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \\ - 8 \\ - 4 \end{matrix}) = 4 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})

Skalarprodukt bilden:

\vec{A^{'} B^{'}} \circ \vec{B^{'} C^{'}} = [2 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})] \circ [4 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})] = 2 \cdot 4 \cdot [(\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})]

\vec{A^{'} B^{'}} \circ \vec{B^{'} C^{'}} = 8 \cdot \underset{0}{\underset{︸}{(- 1 \cdot 2 + (- 2) \cdot (- 2) + 2 \cdot (- 1)}} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow \vec{A^{'} B^{'}} ⊥ \vec{B^{'} C^{'}}

\Rightarrow

Die Vektoren

\vec{A^{'} B^{'}}

und

\vec{B^{'} C^{'}}

sind zueinander senkrecht.

Vektor

\vec{D^{'} C^{'}}

bestimmen:

\vec{D^{'} C^{'}} = \vec{C^{'}} - \vec{D^{'}} = (\begin{matrix} 20 \\ - 20 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 22 \\ - 16 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix})

\Rightarrow \vec{D^{'} C^{'}} = \vec{A^{'} B^{'}}

\Rightarrow

Die Deckfläche

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

ist ein Rechteck.

Länge eines Vektors

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Länge der Vektoren

\vec{A^{'} B^{'}}

und

\vec{B^{'} C^{'}}

bestimmen:

\bar{A^{'} B^{'}} = | \vec{A^{'} B^{'}} | = | 2 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) | = 2 \cdot | (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) |

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

\bar{A^{'} B^{'}} = 2 \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})}^{2}} = 2 \cdot \sqrt{(- 1)^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2}} = 2 \cdot \sqrt{9}

\Rightarrow \bar{A^{'} B^{'}} = 6

\bar{B^{'} C^{'}} = | \vec{B^{'} C^{'}} | = | 4 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) | = 4 \cdot | (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) |

\bar{B^{'} C^{'}} = 4 \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})}^{2}} = 4 \cdot \sqrt{2^{2} + (- 2)^{2} + (- 1)^{2}} = 4 \cdot \sqrt{9}

\Rightarrow \bar{B^{'} C^{'}} = 12

Inhalt des Rechtecks

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

bestimmen:

A_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = \bar{A^{'} B^{'}} \cdot \bar{B^{'} C^{'}} = 6 \cdot 12 = 72

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 1g

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung von Vektoren

Länge eines Vektors

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!