Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (3 BE)

Weisen Sie nach, dass das Dreieck

A B C

bei

B

rechtwinklig ist, und bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts

D

, der gemeinsam mit

A

B

und

C

die Eckpunkte eines Rechtecks bildet.

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Lagebeziehung von Vektoren

A (0 | 0 | 0)

B (- 6 | - 12 | 12)

C (18 | - 36 | 0)

Vektoren

\vec{A B}

und

\vec{B C}

bestimmen:

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} - 6 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) = 6 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

\vec{B C} = \vec{C} - \vec{B} = (\begin{matrix} 18 \\ - 36 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 6 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 24 \\ - 24 \\ - 12 \end{matrix}) = 12 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})

Skalarprodukt bilden:

\vec{A B} \circ \vec{B C} = [6 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})] \circ [12 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})] = 72 \cdot [(\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})]

\vec{A B} \circ \vec{B C} = 72 \cdot \underset{0}{\underset{︸}{(- 1 \cdot 2 + (- 2) \cdot (- 2) + 2 \cdot (- 1)}} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{B C}

\Rightarrow

Die Vektoren

\vec{A B}

und

\vec{B C}

sind zueinander senkrecht.

\Rightarrow

Das Dreieck

A B C

hat bei

B

einen rechten Winkel.

Lage eines Punktes

Punkt

D

bestimmen:

\vec{D} = \vec{A} + \vec{B C}

\vec{D} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 24 \\ - 24 \\ - 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 24 \\ - 24 \\ - 12 \end{matrix})

\Rightarrow D (24 | - 24 | - 12)

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung von Vektoren

Lage eines Punktes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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