Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 7e (3 BE)

Die Funktion

H : x \mapsto \frac{16}{17} e^{- \frac{1}{4} x} (\sin x - \frac{1}{4} \cos x)

D_{H} = ℝ

, ist Stammfunktion von

h

.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass

\int_{0}^{2 π} h (x) d x

positiv ist, und deuten Sie diesen Zusammenhang am Graph von

h

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 7e

Bestimmtes Integral

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H : x \mapsto \frac{16}{17} e^{- \frac{1}{4} x} (\sin x - \frac{1}{4} \cos x)

D_{H} = ℝ

Integral bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

\int_{0}^{2 π} h (x) d x = {[H (x)]}_{0}^{2 π}

= H (2 π) - H (0)

= [\frac{16}{17} e^{- \frac{1}{4} \cdot 2 π} (\underset{0}{\underset{︸}{\sin (2 π)}} - \frac{1}{4} \underset{1}{\underset{︸}{\cos (2 π)}})] - [\frac{16}{17} e^{- \frac{1}{4} \cdot 0} (\underset{0}{\underset{︸}{\sin (0)}} - \frac{1}{4} \underset{1}{\underset{︸}{\cos (0)}})]

= - \frac{4}{17} e^{- \frac{π}{2}} + \frac{4}{17}

\approx 0, 19

> 0

Integral deuten:

Zwischen

0

und

2 π

schließt der Graph

G_{h}

mit der

x

-Achse 3 Flächenstücke ein.

\int_{0}^{2 π} h (x) d x > 0

bedeutet, dass die beiden Flächenstücke die oberhalb der

x

-Achse liegen, größeren Inhalt haben als das Flächenstück unterhalb.

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Bestimmtes Integral

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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