Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung I

Teilaufgabe Teil 1 1 (3 BE)

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion

f : x \mapsto (e^{x} - 2) \cdot (x^{3} - 2 x)

mit Definitionsbereich

ℝ

Teilaufgabe Teil 1 2 (6 BE)

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \frac{\ln x}{x - 2}

mit maximalem Definitionsbereich

D_{f}

.
Geben Sie

D_{f}

an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von

f

an der Stelle

x = 1

Teilaufgabe Teil 1 3 (3 BE)

Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion

f

an, die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:

Der Graph von $f$ berührt an der Stelle $x = 1$ die $x$ -Achse.

$f$ hat $x = 3$ als Polstelle.

Teilaufgabe Teil 1 4 (3 BE)

Bestimmen Sie den Term einer Stammfunktion der Funktion

f : x \mapsto \ln (2 x)

D_{f} = ℝ^{+}

Teilaufgabe Teil 1 5 (5 BE)

Für

x \geq 1

sind die Funktionen mit den folgenden Termen gegeben:

f (x) = \sqrt{x - a}

g (x) = \ln x

h (x) = - \frac{1}{x} + b

mit

a, b \in ℕ

Ordnen Sie die Funktionen den nachfolgenden Graphen zu und bestimmen Sie die Parameter

a

und

b

. Erklären Sie Ihr Vorgehen.

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto - \frac{1}{2} x^{2} + 2

mit

D_{f} = ℝ

Teilaufgabe Teil 2 6a (2 BE)

Zeichnen Sie den Graphen

G_{f}

in ein Koordinatensystem.

Teilaufgabe Teil 2 6b (6 BE)

Dem Flächenstück, das

G_{f}

mit der

x

-Achse einschließt, werden Rechtecke so einbeschrieben, dass jeweils eine Rechteckseite auf der

x

-Achse liegt. Berechnen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt

A

eines solchen Rechtecks.
[Ergebnis:

A = \frac{16}{9} \sqrt{3}

]

Teilaufgabe Teil 2 6c (5 BE)

Berechnen Sie, wie viel Prozent des Flächenstücks, das

G_{f}

mit der

x

-Achse einschließt, vom Rechteck maximalen Flächeninhalts aus Teilaufgabe 6b bedeckt werden.

Gegeben sind die Funktionen

g : x \mapsto e^{- \frac{1}{4} x}

D_{g} = ℝ

, und

h : x \mapsto e^{- \frac{1}{4} x} \cdot \cos x

D_{h} = ℝ

. Der Graph von

h

ist für

x \geq 0

im nachfolgenden Diagramm dargestellt.

Teilaufgabe Teil 2 7a (8 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von

g

und geben Sie das Verhalten von

g

für

x \to + \infty

und

x \to - \infty

an.
Berechnen Sie die Funktionswerte

g (0)

g (π)

g (2 π)

g (3 π)

, und

g (4 π)

und zeichnen Sie damit die Graphen von

g

und von

- g

in obiges Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe Teil 2 7b (3 BE)

Die Funktion

h

entsteht aus der Kosinusfunktion

x \mapsto \cos x

D = ℝ

, durch Multiplikation mit der Funktion

g

. Beschreiben Sie, inwiefern sich der Graph von

h

aufgrund dieser Multiplikation vom Graph der Kosinusfunktion unterscheidet. Gehen Sie dabei auch auf die Nullstellen von

h

und die Funktionswerte

h (n π)

n \in ℕ

ein.

Teilaufgabe Teil 2 7c (6 BE)

Berechnen Sie den Term

h^{'} (x)

der ersten Ableitung von

h

und weisen Sie nach, dass für Extremstellen von

h

gilt:

\tan x = - 0, 25

. Zeigen Sie damit, dass die Extremstellen von

h

gegenüber den Extremstellen der Kosinusfunktion verschoben sind.

Teilaufgabe Teil 2 7d (4 BE)

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen I und II wahr oder falsch sind, und machen Sie Ihre Antworten plausibel:

$lim_{x \to - \infty} h (x) = + \infty$

$lim_{x \to + \infty} h (x) = 0$

Teilaufgabe Teil 2 7e (3 BE)

Die Funktion

H : x \mapsto \frac{16}{17} e^{- \frac{1}{4} x} (\sin x - \frac{1}{4} \cos x)

D_{H} = ℝ

, ist Stammfunktion von

h

.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass

\int_{0}^{2 π} h (x) d x

positiv ist, und deuten Sie diesen Zusammenhang am Graph von

h

Teilaufgabe Teil 2 7f (3 BE)

Es gibt Werte

a > 0

, für die

\int_{0}^{a} h (x) d x

negativ ist. Geben Sie einen solchen Wert an und begründen Sie Ihre Wahl ohne Rechnung.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil 1 1

Teilaufgabe Teil 1 2

Teilaufgabe Teil 1 3

Teilaufgabe Teil 1 4

Teilaufgabe Teil 1 5

Teilaufgabe Teil 2 6a

Teilaufgabe Teil 2 6b

Teilaufgabe Teil 2 6c

Teilaufgabe Teil 2 7a

Teilaufgabe Teil 2 7b

Teilaufgabe Teil 2 7c

Teilaufgabe Teil 2 7d

Teilaufgabe Teil 2 7e

Teilaufgabe Teil 2 7f

Lösung als Video:

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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