Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 7a (8 BE)

Gegeben sind die Funktionen

g : x \mapsto e^{- \frac{1}{4} x}

D_{g} = ℝ

, und

h : x \mapsto e^{- \frac{1}{4} x} \cdot \cos x

D_{h} = ℝ

. Der Graph von

h

ist für

x \geq 0

im nachfolgenden Diagramm dargestellt.

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von

g

und geben Sie das Verhalten von

g

für

x \to + \infty

und

x \to - \infty

an.
Berechnen Sie die Funktionswerte

g (0)

g (π)

g (2 π)

g (3 π)

, und

g (4 π)

und zeichnen Sie damit die Graphen von

g

und von

- g

in obiges Koordinatensystem ein.

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 7a

Monotonieverhalten einer Funktion

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g (x) = e^{- \frac{1}{4} x}

D_{g} = ℝ

Erste Ableitung bilden:

g^{'} (x) = {(e^{- \frac{1}{4} x})}^{'}

= e^{- \frac{1}{4} x} \cdot (- \frac{1}{4})

Prüfen für welche Werte die erste Ableitung positiv bzw. negativ ist:

g^{'} (x) = - \frac{1}{4} \underset{> 0}{\underset{︸}{e^{- \frac{1}{4} x}}} < 0

für

x \in ℝ

Schritt einblenden / ausblenden

Monotonieverhalten einer Funktion

Für stetige Funktionen besteht eine Beziehung zwischen Monotonie und Ableitung, da die Ableitung die Steigung der Funktion angibt.

Es gilt:

f^{'} (x) > 0 :

Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f^{'} (x) < 0 :

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

\Rightarrow

g

ist streng monoton fallend für alle

x

aus

D_{f}

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

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Grenzwerte bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Exponentialfunktion

Graphen der Funktionen

e^{- x}

und

e^{x}

lim_{x \to + \infty} g (x) = lim_{x \to + \infty} e^{- \frac{1}{4} x} = 0^{+}

lim_{x \to - \infty} g (x) = lim_{x \to - \infty} e^{- \frac{1}{4} x} = + \infty

Funktionswert berechnen

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g (0) = e^{- \frac{1}{4} \cdot 0} = 1

g (π) = e^{- \frac{1}{4} \cdot π} \approx 0, 45

g (2 π) = e^{- \frac{1}{4} \cdot 2 π} \approx 0, 21

g (3 π) = e^{- \frac{1}{4} \cdot 3 π} \approx 0, 09

g (4 π) = e^{- \frac{1}{4} \cdot 4 π} \approx 0, 043

Skizze

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Teilaufgabe Teil 2 7f

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Monotonieverhalten einer Funktion

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

Funktionswert berechnen

Skizze

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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