Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 6b (6 BE)

Dem Flächenstück, das

G_{f}

mit der

x

-Achse einschließt, werden Rechtecke so einbeschrieben, dass jeweils eine Rechteckseite auf der

x

-Achse liegt. Berechnen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt

A

eines solchen Rechtecks.
[Ergebnis:

A = \frac{16}{9} \sqrt{3}

]

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 6b

Extremwertaufgabe

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Flächeninhalt

A

des Rechtecks:

Schritt einblenden / ausblenden

Einbeschriebenes Rechteck

Für

0 < x < 2

ist die Länge des einbeschriebenen Rechtecks gleich

2 x

und die Höhe gleich

f (x)

A (x) = 2 x \cdot f (x) = 2 x \cdot (- \frac{1}{2} x^{2} + 2) = - x^{3} + 4 x

mit

0 < x < 2

Erste Ableitung bilden:

A^{'} (x) = - 3 x^{2} + 4

Erste Ableitung Null setzen:

A^{'} (x) = 0

\Leftrightarrow

- 3 x^{2} + 4 = 0

x^{2} = \frac{4}{3}

\Rightarrow

x_{1, 2} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}

Zweite Ableitung bilden:

A^{''} (x) = - 6 x

Prüfen ob es sich bei

x = \frac{2}{\sqrt{3}}

um ein Maximum handelt:

A^{''} (\frac{2}{\sqrt{3}}) = - \frac{12}{\sqrt{3}} < 0

\Rightarrow

An der Stelle

x = \frac{2}{\sqrt{3}}

hat die Funktion

A (x)

ein Maximum.

Größtmögliche Fläche eines Rechtecks bestimmen:

A (\frac{2}{\sqrt{3}}) = - {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3} + 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{3 \sqrt{3}} \approx 3, 08

\Rightarrow

Das größtmögliche Rechteck hat einen Flächeninhalt von ca.

3, 08

FE (Flächeneinheit)

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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