Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1e (10 BE)

Die Ebene

F

schneidet den Würfel

W

in einem regulären Sechseck.
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene

F

mit der

x_{1}

- und der

x_{3}

-Koordinatenachse und bestätigen Sie, dass der Mittelpunkt der Strecke

[G_{2} G_{3}]

auf

F

liegt.
Zeichnen Sie alle sechs Schnittpunkte der Ebene

F

mit Kanten des Würfels sowie den Rand der sechseckigen Schnittfigur ein.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des betrachteten Sechsecks.

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Spurpunkte einer Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

F : x_{1} - x_{2} + x_{3} = 3

x_{1}

-Koordinatenachse:

\vec{X} = λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

x_{3}

-Koordinatenachse:

\vec{X} = λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Spurpunkte einer Ebene

Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen nennt man Spurpunkte.
Um sie zu bestimmen, setzt man die Gleichung der Koordinatenachse in die Normalenform (Koordinatenform) der Ebenen ein, löst nach dem Parameter

λ

auf und setzt diesen Wert in die Geradengleichung ein.

Spurpunkt mit der

x_{1}

-Koordinatenachse:

λ - 0 + 0 = 3

\Rightarrow

λ = 3

\Rightarrow

\vec{S_{1}} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Die Ebene

F

schneidet die

x_{1}

-Achse im Punkt

S_{1} (3 | 0 | 0)

.

Spurpunkt mit der

x_{3}

-Koordinatenachse:

0 - 0 + λ = 3

\Rightarrow

λ = 3

\Rightarrow

\vec{S_{3}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

Die Ebene

F

schneidet die

x_{3}

-Achse im Punkt

S_{3} (0 | 0 | 3)

Lage eines Punktes

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G_{2} (6 | 0 | 0)

G_{3} (6 | 6 | 0)

Mittelpunkt

M_{1}

der Strecke

[G_{2} G_{3}]

bestimmen:

\vec{M_{1}} = \frac{1}{2} [\vec{G_{2}} + \vec{G_{3}}] = \frac{1}{2} [(\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})] = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

Zeigen, dass

M_{1} (6 | 3 | 0) \in F

F : x_{1} - x_{2} + x_{3} = 3

M_{1}

F

einsetzen:

6 - 3 + 0 = 3

wahre Aussage

\Rightarrow

Der Punkt

F

liegt auf der Ebene

F

Skizze

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Flächeninhalt eines regulären Sechsecks

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Schritt einblenden / ausblenden

Reguläres Sechseck

Die Ebene

F

schneidet den Würfel in einen regulären Sechseck.

Ein reguläres Sechseck hat gleich lange Seiten und gleich große Winkel.

Das reguläre Sechseck lässt sich in 6 gleichseitige Dreieckecke aufteilen.

Seitenlänge

a

des Sechsecks bestimmen:

a = [S_{1} S_{3}] = | \vec{S_{1} S_{3}} | = | \vec{S_{3}} - \vec{S_{1}} | = | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) |

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

= \sqrt{{(\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{(- 3)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}

Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge

a

bestimmen:

A_{△} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \underset{h_{△}}{\underset{︸}{(a \cdot c o s (30^{\circ}))}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \frac{\sqrt{3}}{2}

Flächeninhalt des Sechsecks bestimmen:

A_{6 e c k} = 6 \cdot A_{△} = 6 \cdot 9 \frac{\sqrt{3}}{2} = 27 \sqrt{3}

Das Sechseck hat einen Flächeninhalt von

27 \sqrt{3}

FE (Flächeneinheiten)

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Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

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Themen dieser Aufgabe:

Spurpunkte einer Ebene

Lage eines Punktes

Skizze

Flächeninhalt eines regulären Sechsecks

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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