Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (4 BE)

Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene

E

gegen die Grundfläche

G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}

.
Geben Sie drei Eckpunkte des Würfels

W

an, die eine Ebene so festlegen, dass sie mit der Grundfläche einen

45^{\circ}

-Winkel einschließt.

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Winkel zwischen zwei Ebenen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

E : x_{1} - x_{2} + x_{3} = 6

Grundfläche

G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}

liegt in der

x_{1} x_{2}

-Ebene

G : x_{3} = 0

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

ist Normalenvektor der Ebene

E

\vec{n_{G}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

ist Normalenvektor der Ebene

G

Länge der Normalenvektoren bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{n_{E}} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}

| \vec{n_{G}} | = 1

Neigungswinkel

α

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen zwei Ebenen

Der Winkel

α

zwischen zwei Ebenen

E

und

G

ist gleich dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren

\vec{n_{E}}

und

\vec{n_{G}}

α = ∡ (E, G) = ∡ (\vec{n_{E}}, \vec{n_{G}})

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

\cos α = \frac{\vec{n_{E}} \circ \vec{n_{G}}}{| \vec{n_{E}} | \cdot | \vec{n_{G}} |} = \frac{(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}

\Rightarrow

α = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{3}}) \approx 54, 7^{\circ}

Lagebeziehung von Ebenen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Zum Beispiel:

Die Punkte

D_{1}

D_{4}

und

G_{3}

legen eine Ebene fest, die mit der Grundfläche einen

45^{\circ}

-Winkel einschließt.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1f

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Ebenen

Lagebeziehung von Ebenen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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