Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (5 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Würfel

W

der Kantenlänge 6 gegeben. Die Eckpunkte

G_{1} (0 | 0 | 0)

und

D_{3} (6 | 6 | 6)

legen eine Raumdiagonale fest.

Bestimmen Sie in Koordinatenform eine Gleichung der Ebene

E

, die durch die Punkte

D_{1}

G_{2}

und

D_{3}

verläuft, und zeichnen Sie die Schnittfigur der Ebene

E

mit dem Würfel

W

ein.
[mögliches Ergebnis:

E : x_{1} - x_{2} + x_{3} = 6

]

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebene aus drei Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

D_{1} (0 | 0 | 6)

G_{2} (6 | 0 | 0)

D_{3} (6 | 6 | 6)

Richtungsvektoren der Ebene

E

bestimmen:

\vec{G_{2} D_{1}} = \vec{D_{1}} - \vec{G_{2}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})

\vec{G_{2} D_{3}} = \vec{D_{3}} - \vec{G_{2}} = (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 6 \end{matrix})

G_{2}

sei der Aufpunkt der Ebene.

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

(hier auch Koordinatenform genannt)

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen:

\vec{G_{2} D_{1}} \times \vec{G_{2} D_{3}} = (\begin{matrix} - 6 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 6 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} - 6 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \cdot 6 - 0 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 - (- 6) \cdot 6 \\ 0 \cdot 6 - 6 \cdot 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 36 \\ 36 \\ - 36 \end{matrix})

= (\begin{matrix} - 36 \\ 36 \\ - 36 \end{matrix})

Normalenvektor vereinfachen:

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{n_{E}} = - \frac{1}{36} \cdot (\begin{matrix} - 36 \\ 36 \\ - 36 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

Normalenform

E^{N}

der Ebene

E

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E^{N} : [\vec{X} - \vec{P}] \circ \vec{n_{E}} = 0

Hier:

E^{N} : [\vec{X} - (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = 0

Kann auch geschrieben werden:

\vec{X} \circ (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

E^{N} : \vec{X} \circ (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

E^{N} : x_{1} - x_{2} + x_{3} = 6

Skizze

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

Skizze

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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