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Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b  (3 BE)

Fassen Sie die Verzögerungen in Sekunden als Werte einer Zufallsgröße ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ auf. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

 

Lösung zu Teilaufgabe 2b

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung erstellen:



Erwartungswert bestimmen:

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ (hier ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$) bei ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ Versuchen (hier 4), ist definiert als:

${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}$

In diesem Fall:

${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^4{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}$

${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0,1+0,5+0,3+0,2=1,1}$ (Sekunden)

Varianz einer Zufallsgröße

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${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right)=\sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^4{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0,05+0,5+0,45+0,4=1,4}$

Varianz bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Varianz einer Zufallsgröße

Die Varianz einer Zufallsgröße ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ (hier ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$) bei ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ Versuchen (hier 4) ist definiert als:

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\right)}^2\cdot {\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right)-{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

In diesem Fall:

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right)-{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2(\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=1,4-1,1^2=0,19}$

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