Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (5 BE)

An einer Ampel stehen Autos hintereinander. Die Ampel schaltet auf Grün. In einem einfachen Modell geht man davon aus, dass ein Auto erst nach einer gewissen zeitlichen Verzögerung gegenüber dem Auto anfährt, das in der Schlange vor ihm steht. Für die möglichen zeitlichen Verzögerungen sind in diesem Modell vier verschiedene Werte vorgesehen. Die folgende Tabelle gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie jeweils eintreten.

Diese Tabelle gibt auch die im Modell möglichen zeitlichen Verzögerungen zwischen dem Umschalten der Ampel auf Grün und dem Anfahren des ersten Autos sowie deren Wahrscheinlichkeiten an.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das vierte Auto in der Schlange

7, 0

s

nach Beginn der Grünphase anfährt.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Wahrscheinlichkeit

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Ereignis

A :

"Das vierte Auto mit 7 Sekunden Verzögerung"

Daten aus dem Text entnehmen:

Verzögerung in Sekunden: 1
Wahrscheinlichkeit dafür:

p = 0, 5

Verzögerung in Sekunden: 1,5
Wahrscheinlichkeit dafür:

p = 0, 2

Verzögerung in Sekunden: 2
Wahrscheinlichkeit dafür:

p = 0, 1

Überlegung:

Wenn das vierte Auto in der Schlange mit einer Verzögerung von 7 Sekunden anfährt, dann gibt es nur 2 Fälle für die einzelnen Verzögerungen:

Entweder gibt es 3 Autos mit jeweils eine Verzögerung von 2 Sekunden und ein Auto mit einer Veerzögerung von 1 Sekunde (2+2+2+1 = 7), oder 2 Autos mit jeweils 2 Sekunden und 2 Autos mit jeweils 1,5 Sekunden Verzögerung (2 + 2 +1,5 +1,5 = 7)

Wahrscheinlichkeit bestimmen:

P (A) = (\binom{4}{1}) \cdot 0, 1^{3} \cdot 0, 5^{1} + (\binom{4}{2}) \cdot 0, 1^{2} \cdot 0, 2^{2} = 0, 002 + 0, 0024 = 0, 0044 = 0, 44 %

\Rightarrow

Die Wahrscheinlichkeit, dass das vierte Auto in der Schlange 7 Sekunden nach der Grünphase anfährt, ist gleich

0, 44 %

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Wahrscheinlichkeit

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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