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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (5 BE)

Berechnen Sie die mittlere Wartezeit $\bar{T}$ (in Jahren) bis zum ersten Einschlag, die durch $\bar{T} = \int_{0}^{\infty} t \cdot φ_{λ} (t) d t$ gegeben ist.

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$φ_{λ} (t) = λ e^{- λ t}$ , $t \geq 0, λ > 0$

$\bar{T} = \int_{0}^{\infty} t \cdot φ_{λ} (t) d t$

$= \int_{0}^{\infty} t \cdot λ e^{- λ t} d t$

Schritt einblenden / ausblenden

$= lim_{b \to \infty} \underset{T}{\underset{︸}{(\int_{0}^{b} t \cdot λ e^{- λ t} d t)}}$

Nebenrechnung:

Schritt einblenden / ausblenden

$\int e^{- λ t} d t = - \frac{1}{λ} e^{- λ t}$

Bestimmtes Integral $T$ mit partieller Integration bestimmen:

$T = \int_{0}^{b} t \cdot λ e^{- λ t} d t$

Schritt einblenden / ausblenden

$= λ \cdot \int_{0}^{b} t \cdot e^{- λ t} d t$

Schritt einblenden / ausblenden

$= λ \cdot {{[t \cdot (- \frac{1}{λ}) e^{- λ t}]}_{0}^{b} - \int_{0}^{b} (- \frac{1}{λ}) e^{- λ t} d t}$

Schritt einblenden / ausblenden

$= {[- t e^{- λ t}]}_{0}^{b} + \int_{0}^{b} e^{- λ t} d t$

$= {[- t e^{- λ t}]}_{0}^{b} + {[(- \frac{1}{λ}) e^{- λ t}]}_{0}^{b}$

$= {[e^{- λ t} \cdot (- t - \frac{1}{λ})]}_{0}^{b}$

$= [e^{- λ b} \cdot (- b - \frac{1}{λ})] - [\underset{= 1}{\underset{︸}{e^{- λ \cdot 0}}} \cdot (- 0 - \frac{1}{λ})]$

$= e^{- λ b} \cdot (- b - \frac{1}{λ}) + \frac{1}{λ}$

Grenzwert bestimmen:

$\bar{T} = lim_{b \to \infty} T$

Schritt einblenden / ausblenden

$= lim_{b \to \infty} [\underset{\to 0}{\underset{︸}{e^{- λ b} \cdot (- b - \frac{1}{λ})}} + \frac{1}{λ}] = \frac{1}{λ}$

Bemerkung

Aus der Formelsammlung:

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0$

Angewendet auf diese Aufgabe:

$lim_{b \to \infty} e^{- λ b} \cdot (- b - \frac{1}{λ}) = lim_{b \to \infty} \frac{- b - \frac{1}{λ}}{e^{λ b}} = 0$

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