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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 2c  (5 BE)
Begründen Sie, dass für h > 0 gilt: F ( 1 - h ) = F ( 1 + h ) .
Welche Bedeutung hat diese Beziehung für den Graphen der Integralfunktion F ?
 
Lösung zu Teilaufgabe 2c
Eigenschaften der Integralfunktion



Begründung:
F ( 1 - h ) entspricht der Fläche die der Graph G f mit der x -Achse zwischen - 2 und 1 - h einschließt.
F ( 1 - h ) entspricht der Fläche die der Graph G f mit der x -Achse zwischen - 2 und 1 + h einschließt.
Wegen der Punktsymmetrie der Funktion f zum Punkt ( 1 | 0 ) , ist die Fläche die der Graph G f mit der x -Achse zwischen 1 - h und 1 einschließt betragsmäßig gleichgroß wie die Fläche zwischen 1 und 1 + h . Somit heben sich diese Flächen bei der Berechnung von F ( 1 + h ) gegenseitig auf (da verschiedenes Vorzeichen).

⇒ F ( 1 - h ) = F ( 1 + h ) für h > 0

⇒ Der Graph G F der Integralfunktion ist achsensymmetrisch bezüglich x = 1
Alternative Lösung



F ( 1 + h ) = ∫ - 2 1 + h f ( t ) d t = ∫ - 2 1 - h f ( t ) d t + ∫ 1 - h 1 f ( t ) d t + ∫ 1 1 + h f ( t ) d t ︸ = 0 wegen Punktsymmetrie = ∫ - 2 1 - h f ( t ) d t = F ( 1 - h )
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Themen dieser Aufgabe:
Eigenschaften der Integralfunktion
Alternative Lösung
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
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