Toggle navigation

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!

Abitur 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Schar der Funktionen $g_{k} : x \mapsto \frac{x^{2} - k}{x^{2} - 1}$ mit $k \in ℝ^{+} ∖ {1}$ und Definitionsmenge $D = ℝ ∖ {- 1; 1}$ . Der Graph von $g_{k}$ wird mit $G_{k}$
bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (6 BE)

Untersuchen Sie $G_{k}$ auf Symmetrie, bestimmen Sie die Schnittpunkte von $G_{k}$ mit den Koordinatenachsen und geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Zeigen Sie, dass $G_{k}$ genau einen Extrempunkt besitzt, und bestimmen Sie dessen Lage und Art in Abhängigkeit von $k$ .

Teilaufgabe 1c (6 BE)

Wählen Sie zwei Scharparameter $k_{1}$ und $k_{2}$ so, dass sich die zugehörigen Graphen in der Art ihres Extrempunkts unterscheiden. Skizzieren Sie $G_{k_{1}}$ und $G_{k_{2}}$ unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_{f}$ einer in $ℝ$ definierten, stetigen Funktion $f$ . $G_{f}$ ist punktsymmetrisch zum einzigen Schnittpunkt $S (1 | 0)$ mit der $x$ -Achse. Die Extrempunkte von $G_{f}$ sind $(0 | - 2)$ und $(2 | 2)$ .

Die Funktion $F : x \mapsto \int_{- 2}^{x} f (t) d t$ mit $x \in ℝ$ ist eine Integralfunktion von $f$ .

Teilaufgabe 2a (5 BE)

Geben Sie Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von $F$ an.

Teilaufgabe 2b (4 BE)

Begründen Sie, dass $F$ genau zwei Nullstellen hat, und geben Sie diese an.

Teilaufgabe 2c (5 BE)

Begründen Sie, dass für $h > 0$ gilt: $F (1 - h) = F (1 + h)$ .
Welche Bedeutung hat diese Beziehung für den Graphen der Integralfunktion $F$ ?

Für die Abschätzung des Risikos von Meteoriteneinschlägen auf der Erde spielt die folgende Funktionenschar eine zentrale Rolle:
$φ_{λ} : t \mapsto λ e^{- λ t}, t \neq 0, λ > 0$

$t$ gibt die Wartezeit bis zum ersten Einschlag in Jahren an. $λ$ ist ein von der Meteoritengröße abhängiger Parameter.
Für einen Zeitpunkt $t_{1} > 0$ entspricht der Inhalt der schraffierten Fläche (vgl. Skizze) der Wahrscheinlichkeit, dass bis zum Zeitpunkt $t_{1}$ der erste Meteoriteneinschlag erfolgt ist.

Teilaufgabe 3a (3 BE)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bis zum Zeitpunkt $t_{1} = \frac{1}{λ}$ der erste Einschlag erfolgt ist.

Teilaufgabe 3b (5 BE)

Berechnen Sie die mittlere Wartezeit $\bar{T}$ (in Jahren) bis zum ersten Einschlag, die durch $\bar{T} = \int_{0}^{\infty} t \cdot φ_{λ} (t) d t$ gegeben ist.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!