Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (3 BE)

Für die Abschätzung des Risikos von Meteoriteneinschlägen auf der Erde spielt die folgende Funktionenschar eine zentrale Rolle:

φ_{λ} : t \mapsto λ e^{- λ t}, t \neq 0, λ > 0

t

gibt die Wartezeit bis zum ersten Einschlag in Jahren an.

λ

ist ein von der Meteoritengröße abhängiger Parameter.
Für einen Zeitpunkt

t_{1} > 0

entspricht der Inhalt der schraffierten Fläche (vgl. Skizze) der Wahrscheinlichkeit, dass bis zum Zeitpunkt

t_{1}

der erste Meteoriteneinschlag erfolgt ist.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bis zum Zeitpunkt

t_{1} = \frac{1}{λ}

der erste Einschlag erfolgt ist.

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Flächenberechnung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

φ_{λ} (t) = λ e^{- λ t}

t \geq 0, λ > 0

t_{1} = \frac{1}{λ}

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Aus der Einleitung zur Teilaufgabe 3 ist zu entnehmen, dass die Fläche unter dem Graphen der Funktion

φ_{λ} (t)

gleich ist mit der Wahrscheinlichkeit, dass bis zu einem bestimmten Zeitpunk

t_{1}

der erste Meteoriteneinschlag erfolgt ist.

Diese Fläche entspricht der Fläche die

G_{φ}

mit der

x

-Achse zwischen

0

und

t_{1}

einschließt, und somit dem bestimmten Integral:

W = \int_{0}^{t_{1}} φ_{λ} (t) d t

W = \int_{0}^{t_{1}} φ_{λ} (t) d t

= \int_{0}^{\frac{1}{λ}} λ e^{- λ t} d t

= λ \cdot \int_{0}^{\frac{1}{λ}} e^{- λ t} d t

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Hier ist die Stammfunktion der Exponentialfunktion durch folgende Regel gegeben:

\int e^{a x + b} d x = \frac{1}{a} e^{a x + b}

= λ \cdot {[(- \frac{1}{λ}) e^{- λ t}]}_{0}^{\frac{1}{λ}}

= λ \cdot [(- \frac{1}{λ}) e^{- λ \frac{1}{λ}} - (- \frac{1}{λ}) \underset{= 1}{\underset{︸}{e^{- λ \cdot 0}}}]

= λ \cdot [(- \frac{1}{λ}) e^{- 1} + \frac{1}{λ}]

= - \frac{1}{e} + 1

\approx 0, 632

\approx 63, 2 %

\Rightarrow

Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Einschlag bis zum Zeitpunkt

t_{1}

erfolgt, ist gleich

63, 2 %

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Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

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Themen dieser Aufgabe:

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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