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Themen dieser Aufgabe:

Monotonieverhalten der Integralfunktion

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a  (5 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ einer in ${\displaystyle \mathrm{ℝ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ definierten, stetigen Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist punktsymmetrisch zum einzigen Schnittpunkt ${\displaystyle \mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(1|0)}$ mit der ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Achse. Die Extrempunkte von ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ sind ${\displaystyle (0|-2)}$ und ${\displaystyle (2|2)}$.

Die Funktion ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mapsto \underset{-2}{\overset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{ℝ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist eine Integralfunktion von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Geben Sie Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ an.

 

Lösung zu Teilaufgabe 2a

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Monotonieverhalten der Integralfunktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ stetige Funktion mit:

- ${\displaystyle \mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(1|0)}$ Symmetrie- und Schnittpunkt mit der ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Achse
- ${\displaystyle (0|-2)}$ Minimum und Schnittpunkt mit der ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Achse
- ${\displaystyle (2|2)}$ Maximum

${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\underset{-2}{\overset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ Integralfunktion von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

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Eigenschaften der Integralfunktion

${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\underset{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\overset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist Integralfunktion von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$, d.h:

${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0}$
(${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist Nullstelle der Integralfunktion, da ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ Integrationsanfang)

${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$
(Die Integralfunktion ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$)

${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ ist stetig wenn es ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ auch ist.

${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

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Monotonieverhalten der Integralfunktion

Da ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ stetig und ${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$, folgt:

Dort wo ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ negativ ist, ist es ${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }}$ auch und ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist somit streng monoton fallend

Dort wo ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ positiv ist, ist ${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }}$ es auch und ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist somit streng monoton steigend

Wo ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ Nullstellen hat, hat ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ waagrechte Tangenten (Extrema oder Wendepunkte).
Ansatz: ${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0}$


In diesem Fall hat ${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }}$ einen Vorzeichenwechsel von "${\displaystyle -}$" nach "${\displaystyle +}$" an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=1}$ und somit ein Minimum.

$\begin{array}{ccccccc}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})<0& \text{für}& \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<1& \Rightarrow & {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})<0& \text{für}& \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<1\\ \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0& \text{für}& {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=1& \Rightarrow & {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0& \text{für}& {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=1\\ \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})>0& \text{für}& \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>1& \Rightarrow & {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})>0& \text{für}& \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>1\end{array}$



${\displaystyle \Rightarrow }$ $\begin{array}{ccc}{\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}& \text{ist streng monoton fallend für}& \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<1\\ {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}& \text{hat ein Minimum an der Stelle}& {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=1\\ {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}& \text{ist streng monoton steigend für}& \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>1\end{array}$

Krümmungsverhalten der Integralfunktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

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Krümmungsverhalten einer Funktion

Ist die zweite Ableitung einer Funktion ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ negativ auf einem Intervall ]a,b[, d.h. ${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})<0}$ für ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in ]\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>};\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}[}$, so ist der Graph der Funktion ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ in diesem Intervall rechtsgekrümmt (konkav)

Ist die zweite Ableitung einer Funktion ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ positiv auf einem Intervall ]a,b[, d.h. ${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})>0}$ für ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in ]\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>};\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}[}$, so ist der Graph der Funktion ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ in diesem Intervall linksgekrümmt (konvex)

Ist die zweite Ableitung einer Funktion ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gleich Null an einer Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$, d.h. ${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})=0}$, und findet ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an dieser Stelle statt, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ vor.

$\begin{array}{cccccc}{\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})<0& \text{für}& \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in ]-\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>};0[\cup ]2;\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}[& \Rightarrow & {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})& \text{rechtsgekrümmt}\\ {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})>0& \text{für}& \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in ]0;2[& \Rightarrow & {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})& \text{linksgekrümmt}\\ {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0& \text{für}& {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1^{\mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0\text{und}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2^{\mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=2& \Rightarrow & {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1^{\mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2^{\mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}& \text{Wendestellen}\end{array}$

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Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1c

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