Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (4 BE)

Begründen Sie, dass

F

genau zwei Nullstellen hat, und geben Sie diese an.

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

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F (x) = \int_{- 2}^{x} f (t) d t

1.Nullstelle:

F (- 2) = 0

(da

x = - 2

Integrationsanfang)

2.Nullstelle:

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral

F (x) = \int_{- 2}^{x} f (t) d t

ist gleich der Fläche die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen

- 2

und

x

einschließt.

Da

f

punktsymmetrisch zum Punkt

P (1 | 0)

ist, ist die Fläche zwischen

- 2

und

1

betragsmäßig gleich wie die Flächen zwischen

1

und

4

(das Integrationsintervall ist immer gleich

3 = 1 - (- 2) = 4 - 1

)

Da die Fläche zwischen

- 2

und

1

unterhalb der

x

-Achse liegt, ist diese negativ. Die Summe der Flächeninhalte hebt sich somit gegenseitig auf:

\int_{- 2}^{4} f (t) d t = \underset{- A}{\underset{︸}{\int_{- 2}^{1} f (t) d t}} + \underset{A}{\underset{︸}{\int_{1}^{4} f (t) d t}} = 0

F (4) = 0

(wegen Punktsymmetrie von

f

)

F

hat genau zwei Nullstellen, da

F

für

x > 1

streng monoton wachsend ist.

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Themen dieser Aufgabe:

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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