Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4 (6 BE)

Für einen Punkt

Q \in g

wird der Flächeninhalt des Dreiecks

A Q C

minimal. Bestimmen Sie diesen minimalen Flächeninhalt.

Lösung zu Teilaufgabe 4

Flächeninhalt eines Rechtecks

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Man kann die Geradengleichung so umschrieben, dass man einen Vektor erhält, der jeden Punkt auf der Geraden beschreibt.

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ λ \\ 1 + λ \end{matrix})

λ \in ℝ

Q \in g

\Rightarrow

Q (2 | λ | 1 + λ)

Seiten des Dreiecks bestimmen:

\vec{A Q} = \vec{Q} - \vec{A} = (\begin{matrix} 2 \\ λ \\ 1 + λ \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ λ \\ λ - 1 \end{matrix})

\vec{A C} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix})

Dreiecksfläche bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt - Geometrische Bedeutung

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht.

Die Länge

| \vec{n} |

des Vektors

\vec{n}

entspricht dem Flächeninhalt eines Parallelogramms mit den Seiten

\vec{a}

und

\vec{b}

.

In diesem Fall, teilt das Dreieck

A Q C

das Parallelogramm mit den Seiten

\vec{A Q}

und

\vec{A C}

in 2 inhaltsgleiche Teilflächen.

A_{A Q C} (λ) = \frac{1}{2} | \vec{A Q} \times \vec{A C} |

= \frac{1}{2} | (\begin{matrix} 2 \\ λ \\ λ - 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix}) |

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} 2 \\ λ \\ λ - 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ \cdot (- 1) - 4 \cdot (λ - 1) \\ (λ - 1) \cdot 1 - (- 1) \cdot 2 \\ 2 \cdot 4 - 1 \cdot λ \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 - 5 λ \\ 1 + λ \\ 8 - λ \end{matrix})

= \frac{1}{2} | (\begin{matrix} 4 - 5 λ \\ 1 + λ \\ 8 - λ \end{matrix}) |

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

= \frac{1}{2} \sqrt{(4 - 5 λ)^{2} + (1 + λ)^{2} + (8 - λ)^{2}}

= \frac{1}{2} \sqrt{16 - 40 λ + 25 λ^{2} + 1 + 2 λ + λ^{2} + 64 - 16 λ + λ^{2}}

= \frac{1}{2} \sqrt{27 λ^{2} - 54 λ + 81}

Extremwertaufgabe

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\Rightarrow f (λ) = \frac{1}{2} \sqrt{27 λ^{2} - 54 λ + 81}

Erste Ableitung bilden:

A_{A Q C}^{'} (λ) = {(\frac{1}{2} \sqrt{27 λ^{2} - 54 λ + 81})}^{'}

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

Kettenregel:

f (x) = u (v (x))

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)

Die Wurzelfunktion kann umgeschrieben werden in:

{(27 λ^{2} - 54 λ + 81)}^{\frac{1}{2}}

Mit

u (λ) = (\dots)^{\frac{1}{2}}

und

v (λ) = 27 λ^{2} - 54 λ + 81

folgt

u^{'} (λ) = \frac{1}{2} \cdot (\dots)^{- \frac{1}{2}}

v^{'} (λ) = 54 λ - 54

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {(27 λ^{2} - 54 λ + 81)}^{- 1 / 2} \cdot (54 λ - 54)

= \frac{1}{4} \cdot \frac{54 λ - 54}{\sqrt{27 λ^{2} - 54 λ + 81}}

Erste Ableitung Null setzen:

A_{A Q C}^{'} (λ) = 0

\Leftrightarrow

\frac{1}{4} \cdot \frac{54 λ - 54}{\sqrt{27 λ^{2} - 54 λ + 81}} = 0

\Rightarrow

54 λ - 54 = 0

\Rightarrow

λ = 1

Schritt einblenden / ausblenden

Minimum der Funktion

An der Stelle

λ = 1

hat die Funktion

A_{A Q C} (λ)

ein Minimum, da die erste Ableitung ihr Vorzeichen wechselt von Minus nach Plus.

Minimalen Flächeninhalt bestimmen:

A_{m i n} = A_{A Q C} (1) = \frac{1}{2} \sqrt{27 - 54 + 81} = \frac{1}{2} \sqrt{54} = \frac{3}{2} \sqrt{6}

FE (Flächeneinheiten)

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2a

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Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

Teilaufgabe 4

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Themen dieser Aufgabe:

Flächeninhalt eines Rechtecks

Extremwertaufgabe

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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