Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (6 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten des von

B

verschiedenen Punktes

P \in g

so, dass die Geraden

P A

und

P C

senkrecht zueinander stehen.

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Schnitt zweier Geraden

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Man kann die Geradengleichung so umschrieben, dass man einen Vektor erhält, der jeden Punkt auf der Geraden beschreibt.

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ λ \\ 1 + λ \end{matrix})

λ \in ℝ

P \in g

\Rightarrow

P (2 | λ | 1 + λ)

A (0 | 0 | 2)

C (1 | 4 | 1)

Richtungsvektor

\vec{P A}

der Geraden

P A

bestimmen:

\vec{P A} = \vec{A} - \vec{P} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ λ \\ 1 + λ \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ - λ \\ 1 - λ \end{matrix})

Richtungsvektor

\vec{P C}

der Gerade

P C

bestimmen:

\vec{P C} = \vec{C} - \vec{P} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ λ \\ 1 + λ \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 4 - λ \\ - λ \end{matrix})

Skalarprodukt der Richtungsvektoren bilden und gleich Null setzen:

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Es wird das Skalarprodukt der Richtungsvektoren

\vec{P A}

und

\vec{P C}

gebildet um den Parameter

λ

zu bestimmen für den die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Da das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren die senkrecht zueinander stehen, gleich Null ist, wird auch hier gleich Null gesetzt.

\vec{P A} \circ \vec{P C} = (\begin{matrix} - 2 \\ - λ \\ 1 - λ \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 1 \\ 4 - λ \\ - λ \end{matrix})

= 2 - λ (4 - λ) - λ (1 - λ)

= 2 - 4 λ + λ^{2} - λ + λ^{2} = 0

2 λ^{2} - 5 λ + 2 = 0

λ_{1, 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}

\Rightarrow λ_{1} = 2

und

λ_{2} = \frac{1}{2}

Punkt

P

bestimmen:

λ_{1} \Rightarrow P = B (2 | 2 | 3)

λ_{2} \Rightarrow P (2 | \frac{1}{2} | \frac{3}{2})

\Rightarrow

Der gesuchte Punkt ist

P (2 | \frac{1}{2} | \frac{3}{2})

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

Teilaufgabe 4

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Themen dieser Aufgabe:

Schnitt zweier Geraden

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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