Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Die Gerade

g

schneidet die Ebene

E

in einem Punkt

B

. Berechnen Sie die Koordinaten von

B

und zeigen Sie, dass der Punkt

B

das Dreieck

A C D

zu einem Quadrat

A B C D

ergänzt.

[Teilergebnis:

B (2 | 2 | 3)

]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Schnitt Ebene und Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

λ \in ℝ

E^{N} : 2 x_{1} - x_{2} - 2 x_{3} + 4 = 0

Ebene

E

mit Gerade

g

schneiden:

E \cap g

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E^{N}

in einem Punkt

B

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E^{N}

.

Man setzt

g

E^{N}

ein und löst nach

λ

auf.

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} x_{1} = 2 \\ x_{2} = λ \\ x_{3} = 1 + λ \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} = 2 \\ x_{2} = λ \\ x_{3} = 1 + λ \end{matrix}

E^{N} : 2 x_{1} - x_{2} - 2 x_{3} + 4 = 0

einsetzen:

2 \cdot 2 - λ - 2 \cdot (1 + λ) + 4 = 0

4 - λ - 2 - 2 λ + 4 = 0

6 - 3 λ = 0

λ = 2

λ = 2

in die Geradengleichung einsetzen:

\vec{B} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + 2 (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

\Rightarrow

Die Gerade

g

schneidet die Ebene

E

im Punkt

B (2 | 2 | 3)

Länge eines Vektors

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (0 | 0 | 2)

B (2 | 2 | 3)

C (1 | 4 | 1)

D (- 1 | 2 | 0)

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

\vec{D C} = \vec{C} - \vec{D} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

\vec{A D} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

\vec{B C} = \vec{C} - \vec{B} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

Länge der Vektoren bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

\bar{A B} = | \vec{A B} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3

\vec{D C} = \vec{A B} \Rightarrow \bar{D C} = 3

\bar{A D} = | \vec{A D} | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3

\bar{B C} = | \vec{B C} | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3

Winkel zwischen zwei Vektoren

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Prüfen ob die Vektoren

\vec{A B}

und

\vec{B C}

senkrecht aufeinander stehen:

\vec{A B} \circ \vec{B C} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) = - 2 + 4 - 2 = 0

\Rightarrow

die Vektoren stehen senkrecht aufeinander

\Rightarrow A B C D

ist ein Quadrat

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

Teilaufgabe 4

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Schnitt Ebene und Gerade

Länge eines Vektors

Winkel zwischen zwei Vektoren

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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