Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (4 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem des

ℝ^{3}

sind die Punkte

A (0 | 0 | 2)

C (1 | 4 | 1)

D (- 1 | 2 | 0)

und die Gerade

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

λ \in ℝ

, gegeben.

Zeigen Sie, dass die drei Punkte

A, C

und

D

eine Ebene

E

festlegen, und bestimmen Sie eine Gleichung von

E

in Normalenform.

[mögliches Ergebnis:

E : 2 x_{1} - x_{2} - 2 x_{3} + 4 = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebene aus drei Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (0 | 0 | 2)

C (1 | 4 | 1)

D (- 1 | 2 | 0)

Richtungsvektoren der Ebene

E

bestimmen:

\vec{A C} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix})

\vec{A D} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

Überprüfen ob die Richtungsvektoren parallel sind:

Schritt einblenden / ausblenden

Parallele Vektoren

Zwei Vektoren

\vec{u}

und

\vec{v}

sind genau dann parallel, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors ist.
Also genau dann, wenn es ein

k \in ℝ

gibt, so dass gilt:

\vec{u} = k \cdot \vec{v}

(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix}) = k \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} 1 = - k \\ 4 = 2 k \\ - 1 = - 2 k \end{matrix}

\Rightarrow

\begin{matrix} k = - 1 \\ k = 2 \\ k = \frac{1}{2} \end{matrix}

Widerspruch!

Die Richtungsvektoren sind nicht parallel.

\Rightarrow

Die Punkte

A

B

und

C

legen eine Ebene

E

fest

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen:

\vec{A C} \times \vec{A D} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \cdot (- 2) - (- 1) \cdot 2 \\ (- 1) \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 2) \\ 1 \cdot 2 - 4 \cdot (- 1) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix})

= (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix})

Normalenvektor vereinfachen:

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{n_{E}} = - \frac{1}{3} \cdot (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix})

Normalenform

E^{N}

der Ebene

E

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E^{N} : [\vec{X} - \vec{P}] \circ \vec{n_{E}} = 0

Hier:

E^{N} : [\vec{X} - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) = 0

Kann auch geschrieben werden:

\vec{X} \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix})

E^{N} : \vec{X} \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix})

E^{N} : 2 x_{1} - x_{2} - 2 x_{3} = - 4

E^{N} : 2 x_{1} - x_{2} - 2 x_{3} + 4 = 0

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

Teilaufgabe 4

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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