Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Das in Teilaufgabe 2b angegebene Ergebnis lässt sich als Ebenenschar deuten. Zeigen Sie, dass die Ebene

G : x_{2} + 1 = 0

die Gerade

a

enthält, aber nicht der Ebenenschar

F_{k}

angehört. In welcher Lagebeziehung stehen die Ebene

G

und die Gerade

b

zueinander?

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Lagebeziehung Gerade und Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

F_{k}^{N} : (2 + k) x_{2} - 6 x_{3} + k - 10 = 0

(siehe Teilaufgabe 2b)

G : x_{2} + 1 = 0

a : \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(siehe Teilaufgabe 2a)

b : \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Zu zeigen:

a \in G

und

b ∥ G

Schritt einblenden / ausblenden

Lagebeziehung von Ebene und Gerade

Um die Lagebeziehung zwischen einer Ebene und einer Geraden zu bestimmen, setzt man die Geradengleichung in die Normalenform der Ebenengleichung ein.

Fällt der Parameter von der Geradengleichung (in diesem Fall

μ

) weg und es bleibt eine wahre Aussage stehen, z.B. 3 = 3, so leitet man daraus, dass die Gerade in der Ebene enthalten ist. Bleibt eine falsche Aussage stehen, z.B. 3 = 0, so leitet man daraus, dass die Gerade echt parallel zur Ebene liegt.

a : \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} x_{1} = 2 + μ \\ x_{2} = - 1 \\ x_{3} = - 2 \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} = 2 + μ \\ x_{2} = - 1 \\ x_{3} = - 2 \end{matrix}

G

einsetzen:

- 1 + 1 = 0

0 = 0

(wahre Aussage)

\Rightarrow

Die Gerade

a

ist in der Ebene

G

enthalten

b : \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} x_{1} = 2 \\ x_{2} = 5 \\ x_{3} = 1 + λ \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} = 2 \\ x_{2} = 5 \\ x_{3} = 1 + λ \end{matrix}

G

einsetzen:

5 + 1 = 0

6 = 0

(falsche Aussage)

\Rightarrow

Die Gerade

b

liegt echt parallel zur Ebene

G

Lagebeziehung von Ebenen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Die Ebene

G

ist nicht in der Ebenenschar

F_{k}

enthalten, da es kein Wert von

k

gibt, so dass aus

F_{k}

die Ebenengleichung

G

entsteht.

oder

Die Ebene

G

ist echt parallel zur Geraden

b

. Da die Ebenenschar

F_{k}

den Punkt

B_{k}

enthält, kann

F_{k}

nicht die Ebene

G

enthalten.

Bemerkung

Nur wenn

k

gegen Unendlich geht, ist

G \in F_{k}

\frac{1}{k} F_{k} : x_{2} (1 + \frac{2}{k}) - \frac{6}{k} x_{3} + 1 - \frac{10}{k} = 0

lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} F_{k} = lim_{k \to \infty} x_{2} \underset{\to 1}{\underset{︸}{(1 + \frac{2}{k})}} - \underset{\to 0}{\underset{︸}{\frac{6}{k}}} x_{3} + 1 - \underset{\to 0}{\underset{︸}{\frac{10}{k}}} = \underset{G}{\underset{︸}{x_{2} + 1 = 0}}

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Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung Gerade und Ebene

Lagebeziehung von Ebenen

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