Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Weisen Sie nach, dass die Gerade

A B_{1}

den Innenwinkel des Dreiecks bei

A

halbiert.

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Winkel zwischen zwei Vektoren

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A (2 | - 1 | - 2)

B_{- 2} (2 | 5 | - 2)

B_{6} (2 | 5 | 6)

B_{1} (2 | 5 | 1)

\vec{A B_{- 2}} = \vec{B_{- 2}} - \vec{A} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A B_{1}} = \vec{B_{1}} - \vec{A} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})

\vec{A B_{6}} = \vec{B_{6}} - \vec{A} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 8 \end{matrix})

Winkel

α_{1} = ∡ B_{1} A B_{- 2}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

\cos α_{1} = \frac{\vec{A B_{1}} \circ \vec{A B_{- 2}}}{| \vec{A B_{1}} | \cdot | \vec{A B_{- 2}} |}

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

= \frac{(\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})}{\sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})}^{2}}}

= \frac{36}{\sqrt{45} \cdot \sqrt{36}}

= \frac{2}{\sqrt{5}}

\Rightarrow

α_{1} = \cos^{- 1} (\frac{2}{\sqrt{5}}) \approx 26, 56^{\circ}

Winkel

α_{2} = ∡ B_{6} A B_{- 2}

bestimmen:

\cos α_{2} = \frac{\vec{A B_{6}} \circ \vec{A B_{- 2}}}{| \vec{A B_{6}} | \cdot | \vec{A B_{- 2}} |}

\cos α_{2} = \frac{(\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 8 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})}{\sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 8 \end{matrix})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})}^{2}}}

\cos α_{2} = \frac{36}{\sqrt{100} \cdot \sqrt{36}}

\cos α_{2} = \frac{3}{5}

\Rightarrow

α_{2} = \cos^{- 1} (\frac{3}{5}) \approx 53, 13^{\circ}

\Rightarrow

α_{2} = 2 \cdot α_{1}

\Rightarrow

Der Innenwinkel bei

A

wird halbiert.

Alternative Lösung

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\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α

Mit dem trigonometrischen Pythagoras

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

gilt dann:

\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1

Einsetzen von

\cos α_{1}

und

\cos α_{2}

in obige Formel:

\frac{3}{5} = 2 \cdot \frac{4}{5} - 1

(wahre Aussage)

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Winkel zwischen zwei Vektoren

Alternative Lösung

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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