Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (6 BE)

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des

ℝ^{3}

der Punkt

A (2 | - 1 | - 2)

und die Menge der Punkte

B_{k} (2 | 5 | k)

mit

k \in ℝ

Die Punkte

A

B_{- 2}

und

B_{6}

bilden ein Dreieck, das in einer Ebene

E

liegt.
(Nachweis nicht erforderlich)

Zeigen Sie, dass das Dreieck bei

B_{- 2}

einen rechten Winkel hat, und geben Sie eine Gleichung von

E

in Normalenform an. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat

E

?
[mögliches Ergebnis:

E : x_{1} - 2 = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Winkel zwischen zwei Vektoren

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (2 | - 1 | - 2)

B_{- 2} (2 | 5 | - 2)

B_{6} (2 | 5 | 6)

\vec{B_{- 2} A} = \vec{A} - \vec{B_{- 2}} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix})

\vec{B_{- 2} B_{6}} = \vec{B_{6}} - \vec{B_{- 2}} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix})

Prüfen ob die Vektoren

\vec{B_{- 2} A}

und

\vec{B_{- 2} B_{6}}

senkrecht aufeinander stehen:

\vec{B_{- 2} A} \circ \vec{B_{- 2} B_{6}} = (\begin{matrix} 0 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) = 0 + 0 + 0 = 0

\Rightarrow

die Vektoren stehen senkrecht aufeinander

\Rightarrow

das Dreieck hat bei

B_{- 2}

einen rechten Winkel

Ebene aus drei Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Die Vektoren

\vec{B_{- 2} A}

und

\vec{B_{- 2} B_{6}}

bilden die Richtungsvektoren der Ebene

E

. Der Punkt

B

z.B. ist der Aufpunkt der Ebene.

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen:

\vec{B_{- 2} A} \times \vec{B_{- 2} B_{6}} = (\begin{matrix} 0 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} 0 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \cdot 8 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 - 0 \cdot 8 \\ 0 \cdot 0 - (- 6) \cdot 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 48 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

= (\begin{matrix} - 48 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Normalenvektor vereinfachen:

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{n_{E}} = - \frac{1}{48} \cdot (\begin{matrix} - 48 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Normalenform

E^{N}

der Ebene

E

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E^{N} : [\vec{X} - \vec{P}] \circ \vec{n_{E}} = 0

Hier:

E^{N} : [\vec{X} - (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 0

Kann auch geschrieben werden:

\vec{X} \circ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

E^{N} : \vec{X} \circ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

E^{N} : x_{1} = 2

E^{N} : x_{1} - 2 = 0

Besondere Lage im Koordinatensystem

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Die Ebene

E

ist parallel zur

x_{2} x_{3}

-Ebene, da der Normalenvektor

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(Richtungsvektor der

x_{1}

-Achse) sowohl auf der

x_{2}

-Achse als auch auf der

x_{3}

-Achse senkrecht steht.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Vektoren

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

Besondere Lage im Koordinatensystem

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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