Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (6 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten des Inkreismittelpunkts

M

des Dreiecks

A B_{- 2} B_{6}

und tragen Sie

M

in die Zeichnung ein. Geben Sie den Radius

r

des Inkreises an.
[zur Kontrolle:

M (2 | 3 | 0)

]

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Inkreismittelpunkt bestimmen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (2 | - 1 | - 2)

B_{- 2} (2 | 5 | - 2)

B_{6} (2 | 5 | 6)

B_{1} (2 | 5 | 1)

Aus Teilaufgabe 1a und 1c:

\vec{A B_{1}} = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})

\vec{B_{- 2} A} = (\begin{matrix} 0 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix})

\vec{B_{- 2} B_{6}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix})

| \vec{B_{- 2} A} | = 6

| \vec{B_{- 2} B_{6}} | = 8

Gleichung der Winkelhalbierenden

A B_{1}

bei

A

(siehe Teilaufgabe 1c) aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelhalbierende

Nach Teilaufgabe 1c, halbiert die Gerade

A B_{1}

den Innenwinkel des Dreiecks bei

A

. Also ist

A B_{1}

die Winkelhalbierende Gerade bei

A

\vec{A}

ist der Ortsvektor (des Aufpunkts) und

\vec{A B_{1}}

der Richtungsvektor der Geraden

A B_{1}

A B_{1} :

\vec{X} = \vec{A} + λ \cdot \vec{A B_{1}} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})

Gleichung der Winkelhalbierenden

w

bei

B_{- 2}

bestimmen:

Aus Teilaufgabe 1a und 1c:

\vec{B_{- 2} A} = (\begin{matrix} 0 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix})

\vec{B_{- 2} B_{6}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichung der Winkelhalbierenden

Bilden zwei Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

einen Winkel

α

im Punkt

P

, so lautet die Gleichung der Winkelhalbierenden

w

w : \vec{X} = \vec{P} + μ \cdot [\vec{a^{0}} + \vec{b^{0}}]

Dabei sind

\vec{a^{0}}

und

\vec{b^{0}}

die normierten Einheistvektoren (Vektoren der Länge 1). Es gilt:

\vec{a^{0}} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}

w : \vec{X} = \vec{B_{- 2}} + μ \cdot [\vec{B_{- 2} A^{0}} + \vec{B_{- 2} B_{6}^{0}}]

= (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) + μ \cdot [\frac{1}{6} (\begin{matrix} 0 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{1}{8} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix})]

= (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

Winkelhalbierenden schneiden:

A B_{1} \cap w

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt zweier Geraden

Um den Schnittpunkt

M

zweier Geraden

g : \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

und

h : \vec{Q} + μ \cdot \vec{u}

zu bestimmen, setzt man die Geradengleichungen gleich, also

g = h

. Es entsteht somit ein Gleichungssystem mit 2 Variablen,

λ

und

μ

. Man löst das Gleichungssystem nach einer der zwei Variablen auf.

Einsetzen der gefundenen Variable in die entsprechende Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt

M

(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) = μ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} 0 = 0 \\ - 6 - 6 λ = - μ \\ 3 λ = μ \end{matrix}

3.Gleichung in die 2.Gleichung einsetzen:

- 6 + 6 λ = - 3 λ

\Rightarrow λ = \frac{2}{3}

Einsetzen von

λ = \frac{2}{3}

A B_{1}

\vec{M} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow

Der Inkreismittelpunkt ist

M (2 | 3 | 0)

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Der Radius

r

des Inkreises entspricht dem Abstand zwischen dem Punkt

M

und der Geraden

A B_{2}

.
Da alle Objekte auf derselben Ebene liegen, kann der Abstand direkt aus der

x_{3}

-Koordinate des Punktes

M

abgelesen werden. Der Radius ist

r = 2

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Inkreismittelpunkt bestimmen

Lage eines Punktes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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