Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (4 BE)

F_{k}

bezeichnet die von der Geraden

a

und dem Punkt

B_{k}

bestimmte Ebene. Ermitteln Sie für

F_{k}

eine Gleichung in Normalenform.
[mögliches Ergebnis:

F_{k} : (2 + k) x_{2} - 6 x_{3} + k - 10 = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Ebene aus Punkt und Gerade

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A (2 | - 1 | - 2)

B_{k} (2 | 5 | k)

a : \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(siehe Teilaufgabe 2a)

\vec{B_{k}} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ k \end{matrix})

Ortsvektor (des Aufpunkts) der Ebene

F_{k}

\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Richtungsvektor der Geraden

a

ist ein Richtungsvektor der Ebene

F_{k}

Zweiter Richtungsvektor der Ebene

F_{k}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Richtungsvektor

Man wählt einen Punkt auf der Geraden

a

, z.B.

A

, und verbindet diesen mit dem Punkt

B_{k}

, den die Ebene

F_{k}

enthalten soll.

Der Vektor

\vec{A B_{k}}

ist dann ein Richtungsvektor der Ebene

E

\vec{A B} = \vec{B_{k}} - \vec{A} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ k \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ k + 2 \end{matrix})

(Verbindungsvektor von

A

und

B_{k}

)

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

F_{k}

aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen:

\vec{v} \times \vec{A B_{k}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ k + 2 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ k + 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \cdot (k + 2) - 0 \cdot 6 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot (k + 2) \\ 1 \cdot 6 - 0 \cdot 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - k - 2 \\ 6 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 0 \\ - k - 2 \\ 6 \end{matrix})

Normalenvektor vereinfachen:

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{n_{E}} = - 1 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - k - 2 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ k + 2 \\ - 6 \end{matrix})

Normalenform

F_{k}^{N}

der Ebene

F_{k}

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{X} \circ \vec{n_{E}} = \vec{P} \circ \vec{n_{E}}

Hier (

B_{k}

ist Aufpunkt):

F_{k}^{N} : \vec{X} \circ (\begin{matrix} 0 \\ 2 + k \\ - 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ k \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 2 + k \\ - 6 \end{matrix})

F_{k}^{N} : (2 + k) x_{2} - 6 x_{3} = - k + 10

F_{k}^{N} : (2 + k) x_{2} - 6 x_{3} + k - 10 = 0

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus Punkt und Gerade

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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