Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3c (6 BE)

Die Zufallsgröße

X

gibt die Anzahl der Treffer bei einem dreistufigen Zufallsexperiment an. Dieses Zufallsexperiment wird durch das unten stehende Baumdiagramm beschrieben.
Berechnen Sie

p_{1}

und

p_{4}

und ermitteln Sie je einen möglichen Wert für

p_{2}

und

p_{3}

so, dass sich mit diesen vier Werten die Verteilung der Zufallsgröße

X

ergibt.

Lösung zu Teilaufgabe 3c

Wahrscheinlichkeit

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Mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 3a),

a = 4

und

b = 0, 4

, gilt für die Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Übertragen der Werte aus der Tabelle in das Baumdiagramm:

Nach der 1.Pfadregel gilt:

Wahrscheinlichkeit für 3 Treffer:

P (X = 3) = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot p_{1} = 0, 1

\Rightarrow p_{1} = \frac{2}{3}

Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer (= 3 Nieten):

P (X = 0) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot (1 - p_{4}) = 0, 4

\Rightarrow p_{4} = \frac{1}{3}

Nach der 2.Pfadregel gilt:

Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer:

P (X = 1) = [\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot (1 - p_{2})] + [\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot (1 - p_{3})] + [\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot p_{4}] = 0, 3

\frac{1}{20} - \frac{1}{20} \cdot p_{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot p_{3} + \frac{3}{5} \cdot p_{4} = 0, 3 | \cdot 20

1 - p_{2} + 4 - 4 \cdot p_{3} + 12 \cdot p_{4} = 6 | p_{4} = \frac{1}{3}

einsetzen

\Rightarrow p_{2} + 4 \cdot p_{3} = 3

Wahrscheinlichkeit für 2 Treffer:

P (X = 2) = [\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot (1 - p_{1})] + [\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot p_{2}] + [\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot p_{3}] = 0, 2

\frac{3}{20} - \frac{3}{20} \cdot p_{1} + \frac{1}{20} \cdot p_{2} + \frac{1}{5} \cdot p_{3} = 0, 2 | \cdot 20

3 - 3 \cdot p_{1} + p_{2} + 4 \cdot p_{3} = 4 | p_{1} = \frac{2}{3}

einsetzen

\Rightarrow p_{2} + 4 \cdot p_{3} = 3

Die gesuchten Werte sind:

p_{1} = \frac{2}{3}, p_{4} = \frac{1}{3}

und beispielsweise

p_{2} = 0, 2, p_{3} = 0, 7

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Wahrscheinlichkeit

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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