Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (4 BE)

Begründen Sie, dass X nicht die Anzahl der Treffer einer binomial verteilten Zufallsgröße beschreiben kann.

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Binomialverteilung

Mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 3a),

a = 4

und

b = 0, 4

, gilt für die Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Schritt einblenden / ausblenden

Binomialverteilung für n Versuche

Unter der Annahme, dass

X

binomialverteilt ist und

p

die Wahrscheinlichkeit eines Treffers ist , gilt:

P_{p}^{n} (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}

mit

q = 1 - p

und

n

die Anzahl der Versuche.

Aus der Tabelle ist zu entnehmen, dass bei maximal

x_{i} = k = 3

Treffer

n = 3

Versuche stattfinden.

P_{p}^{3} (X = 0) = (\binom{3}{0}) \cdot p^{0} \cdot q^{3} = 0, 4

\Rightarrow q^{3} = 0, 4

\Rightarrow q = \sqrt[3]{0, 4}

P_{p}^{3} (X = 3) = (\binom{3}{3}) \cdot p^{3} \cdot q^{0} = 0, 1

\Rightarrow p^{3} = 0, 1

\Rightarrow p = \sqrt[3]{0, 1}

p + q = \sqrt[3]{0, 4} + \sqrt[3]{0, 1} \approx 1, 20

p + q \neq 1

Schritt einblenden / ausblenden

Eigenschaften einer Binomialverteilung

Wenn eine Zufallsgröße

X

binomialverteilt ist, dann gilt:

p + q = 1

\Rightarrow X

ist nicht binomialverteilt.

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Teilaufgabe 3b

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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