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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 3a  (5 BE)
Eine Zufallsgröße X mit der Wertemenge { 0 ; 1 ; 2 ; 3 } und Erwartungswert 1 hat folgende Verteilung:

P ( X = k ) = a - k a ⋅ b mit k ∈ { 0 ; 1 ; 2 ; 3 } und a , b ∈ ℝ + .
Berechnen Sie a und b .

[Ergebnis: a = 4 ; b = 0 , 4 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 3a
Erwartungswert einer Zufallsgröße



P ( X = k ) = a - k a ⋅ b , k ∈ { 0 ; 1 ; 2 ; 3 } , a , b ∈ ℝ +

E ( X ) = 1 (Erwartungswert)

P ( X ) = 1
Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung P ( X ) erstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
P ( X ) = b + a - 1 a ⋅ b + a - 2 a ⋅ b + a - 3 a ⋅ b = 1 | ⋅ a b

a + a - 1 + a - 2 + a - 3 = a b

⇒ ( 1 ) 4 a - 6 = a b
Schritt einblenden / ausblenden
E ( X ) = 0 + a - 1 a ⋅ b + 2 a - 4 a ⋅ b + 3 a - 9 a ⋅ b = 1 | ⋅ a b

a - 1 + 2 a - 4 + 3 a - 9 = a b

⇒ ( 2 ) 6 a - 14 = a b
( 1 ) und ( 2 ) gleichsetzen:

4 a - 6 = 6 a - 14

⇒ a = 4
a = 4 einsetzen in ( 1 ) :

16 - 6 = 4 b

⇒ b = 4 10 = 0 , 4
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Themen dieser Aufgabe:
Erwartungswert einer Zufallsgröße
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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