Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (7 BE)

Berechnen Sie die Grenzen eines möglichst kleinen Intervalls symmetrisch zum Erwartungswert, in dem die Anzahl fehlerhafter Fliesen der gesamten Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens

95 %

liegt.

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Symmetrischer Streubereich

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n = 2500

p = 0, 10

(Wahrscheinlichkeit einer fehlerhaften Fliese, s. Einleitung)

q = 1 - p = 0, 90

\Rightarrow μ = n \cdot p = 2500 \cdot 0, 10 = 250

(Erwartungswert)

\Rightarrow σ = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{2500 \cdot 0, 10 \cdot 0, 90} = 15

(Standardabweichung)

Der gesuchte Bereich soll symmetrisch zum Erwartungswert

μ

sein:

Die Anzahl der fehlerhaften Fliesen soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens

95 %

in diesem Bereich liegen:

\Rightarrow P (| Z - 250 | \leq a) \geq 0, 95

Näherung durch Normalverteilung:

Schritt einblenden / ausblenden

Symmetrischer Streubereich

Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung:

P (z_{1} \leq Z \leq z_{2}) = Φ (\frac{z_{2} + 0, 5 - μ}{σ}) - Φ (\frac{z_{1} - 0, 5 - μ}{σ})

Liegt ein symmetrischer Streubereich

[z_{1}; z_{2}] = [μ - a; μ + a]

vor, dann gilt:

P (z_{1} \leq Z \leq z_{2}) = P (| Z - μ | \leq a)

= P (μ - a \leq Z \leq μ + a)

= Φ (\frac{μ + a + 0, 5 - μ}{σ}) - Φ (\frac{μ - a - 0, 5 - μ}{σ})

= Φ (\frac{a + 0, 5}{σ}) - \underset{1 - Φ (\frac{a + 0, 5}{σ})}{\underset{︸}{Φ (- (\frac{a + 0, 5}{σ}))}}

= 2 \cdot Φ (\frac{a + 0, 5}{σ}) - 1

P (| Z - μ | \leq a) = 2 \cdot Φ (\frac{a + 0, 5}{σ}) - 1

\Rightarrow 2 \cdot Φ (\frac{a + 0, 5}{15}) - 1 \geq 0, 95

Φ (\frac{a + 0, 5}{15}) \geq \underset{0, 975}{\underset{︸}{\frac{1 + 0, 95}{2}}}

Den Quantilen des stochastischen Tafelwerks entnimmt man:

0, 975 = Φ (1, 960)

\Rightarrow Φ (\frac{a + 0, 5}{15}) = Φ (1, 960)

Schritt einblenden / ausblenden

Stetigkeit einer Funktion

Φ (Z)

ist stetig und streng monoton wachsend:

Φ (a) \geq Φ (b) \Rightarrow a \geq b

\Rightarrow \frac{a + 0, 5}{15} \geq 1, 960

\Rightarrow a \geq 1, 96 \cdot 15 - 0, 5 = 28, 9

\Rightarrow a \geq 29

Gesuchtes kleinstmögliches Intervall:

Z \in [221; 279]

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Themen dieser Aufgabe:

Symmetrischer Streubereich

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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