Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (6 BE)

Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius

r

und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten Flüssigkeit ist

h

. Zeigen Sie mit Hilfe der
Integralrechnung, dass für das Volumen

V

der eingefüllten Flüssigkeit gilt:

V = π (r h^{2} - \frac{1}{3} h^{3})

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Volumen eines Rotationskörpers

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Rechnungsweg 1 (geringer Aufwand):

f_{3} (x) = \sqrt{2 r x - x^{2}}

(s. Teilaufgabe 3a)

Schritt einblenden / ausblenden

Rotation um die x-Achse

Lässt man den Graphen der Funktion

f_{3} (x)

aus Teilaufgabe 3a um die

x

-Achse rotieren, so entsteht eine Kugel mit Radius

r

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen von Rotationskörpern

Rotiert der Graph einer Funktion über dem Intervall

[a, b]

um die

x

-Achse, so entsteht ein Rotationskörper mit Volumen:

V = π \cdot \int_{a}^{b} {(f (x))}^{2} d x

V = π \cdot \int_{0}^{h} {(f_{3} (x))}^{2} d x

= π \cdot \int_{0}^{h} {(\sqrt{2 r x - x^{2}})}^{2} d x

= π \cdot \int_{0}^{h} (2 r x - x^{2}) d x

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= π \cdot {[r x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{h}

= π \cdot (r h^{2} - \frac{1}{3} h^{3})

Rechnungsweg 2:

f_{1} (x) = \sqrt{r^{2} - x^{2}}

(s. Teilaufgabe 3a)

Schritt einblenden / ausblenden

Rotation um die x-Achse

Lässt man den Graphen der Funktion

f_{1} (x)

aus Teilaufgabe 3a um die

x

-Achse rotieren, so entsteht eine Kugel mit Radius

r

.

Hinweis:

Der Abstand zwischen der Stelle

x = - r

und

x = h - r

ist gleich

h - r - (- r) = h

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen von Rotationskörpern

Rotiert der Graph einer Funktion über dem Intervall

[a, b]

um die

x

-Achse, so entsteht ein Rotationskörper mit Volumen:

V = π \cdot \int_{a}^{b} {(f (x))}^{2} d x

V = π \cdot \int_{- r}^{h - r} {(f_{1} (x))}^{2} d x

= π \cdot \int_{- r}^{h - r} {(\sqrt{r^{2} - x^{2}})}^{2} d x

= π \cdot \int_{- r}^{h - r} (r^{2} - x^{2}) d x

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= π \cdot {[r^{2} x - \frac{1}{3} x^{3}]}_{- r}^{h - r}

= π \cdot [(r^{2} (h - r) - \frac{1}{3} (h - r)^{3}) - (r^{2} (- r) - \frac{1}{3} (- r)^{3})]

= π \cdot [(r^{2} h - r^{3} - \frac{1}{3} (h^{3} - 3 h^{2} r + 3 h r^{2} - r^{3})) - (- r^{3} + \frac{1}{3} r^{3})]

= π \cdot (r^{2} h - r^{3} - \frac{1}{3} h^{3} + h^{2} r - h r^{2} + \frac{1}{3} r^{3} + r^{3} - \frac{1}{3} r^{3})

= π \cdot (h^{2} r - \frac{1}{3} h^{3})

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Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen eines Rotationskörpers

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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