Abitur 2009 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die Schar der Funktionen

f_{k} : x \mapsto \frac{x}{k + x^{2}}

mit

k \in ℝ^{+}

und der Definitionsmenge

ℝ

. Der Graph von

f_{k}

wird mit

G_{k}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Untersuchen Sie

G_{k}

auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von

f_{k}

für

x \to - \infty

und

x \to + \infty

an.

Teilaufgabe 1b (7 BE)

Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von

G_{k}

. Die Hochpunkte von

G_{k}

bilden den Graphen einer Funktion

h

. Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von

h

.
[Teilergebnis: Hochpunkt bei

x = \sqrt{k}

]

Teilaufgabe 1c (3 BE)

Zeigen Sie, dass zwei verschiedene Graphen der Schar nur den Koordinatenursprung gemeinsam haben.

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Graphen

G_{k}

für

k = 0, 25

und

k = 1

in ein gemeinsames Koordinatensystem (Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von

h

ein.

Teilaufgabe 1e (7 BE)

Für jedes

k

begrenzt

G_{k}

mit der

x

-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt.
Für beliebige positive

k_{1}, k_{2} (k_{1} \neq k_{2})

begrenzen

G_{k_{1}}

und

G_{k_{2}}

im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt hat, und geben Sie diesen an.

Teilaufgabe 2 (5 BE)

Nun wird die Schar der Funktionen

f_{k} : x \mapsto \frac{x}{k + x^{2}}

für

k \in ℝ_{0}^{-}

betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge

D_{k}

von

f_{k}

in Abhängigkeit von

k

an.
Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat

f_{k}

an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.

Teilaufgabe 3a (4 BE)

Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius

r

und Mittelpunkten

(0 | 0), (0 | r)

und

(r | 0)

. Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion

f_{1} : x \mapsto \sqrt{r^{2} - x^{2}}

mit

- r \leq x \leq r

ist. Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen

f_{2}

und

f_{3}

. Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für

f_{2}

und

f_{3}

an.

Teilaufgabe 3b (6 BE)

Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius

r

und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten Flüssigkeit ist

h

. Zeigen Sie mit Hilfe der
Integralrechnung, dass für das Volumen

V

der eingefüllten Flüssigkeit gilt:

V = π (r h^{2} - \frac{1}{3} h^{3})

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!