Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (4 BE)

Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius

r

und Mittelpunkten

(0 | 0), (0 | r)

und

(r | 0)

. Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion

f_{1} : x \mapsto \sqrt{r^{2} - x^{2}}

mit

- r \leq x \leq r

ist. Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen

f_{2}

und

f_{3}

. Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für

f_{2}

und

f_{3}

an.

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Funktionsgleichung ermitteln

Bild 1:

Man betrachte einen beliebigen Punkt

P (x | y)

auf dem Halbkreis:

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

y^{2} + x^{2} = r^{2}

\Rightarrow y^{2} = r^{2} - x^{2}

\Rightarrow y = f_{1} (x) = \sqrt{r^{2} - x^{2}}

mit

D_{f_{1}} = [- r, r]

Bild 2:

f_{2} (x) = f_{1} (x) + r = \sqrt{r^{2} - x^{2}} + r

mit

D_{f_{2}} = D_{f_{1}} = [- r, r]

Bild 3:

f_{3} (x) = f_{1} (x - r) = \sqrt{r^{2} - (x - r)^{2}} = \sqrt{r^{2} - x^{2} + 2 r x - r^{2}} = \sqrt{2 r x - x^{2}}

mit

D_{f_{3}} = [0, 2 r]

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Teilaufgabe 3b

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Themen dieser Aufgabe:

Funktionsgleichung ermitteln

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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