Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1e (7 BE)

Für jedes

k

begrenzt

G_{k}

mit der

x

-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt.
Für beliebige positive

k_{1}, k_{2} (k_{1} \neq k_{2})

begrenzen

G_{k_{1}}

und

G_{k_{2}}

im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt hat, und geben Sie diesen an.

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Uneigentliches Integral

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Flächeninhalt

A

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Fläche, die

G_{k}

mit der

x

-Achse im I. Quadranten begrenzt, ist gegeben durch das uneigentliche Integral

\int_{0}^{\infty} f_{k} (x) d x

A = \int_{0}^{\infty} f_{k} (x) d x

Schritt einblenden / ausblenden

Uneigentliches Integral

Das uneigentliche Integral

\int_{a}^{\infty} f (x) d x

einer Funktion

f (x)

ist definiert als Grenzwert:

\int_{a}^{\infty} f (x) d x = lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{b \to \infty} [F (b) - F (a)]

wobei

F

die Stammfunktion zu

f

ist.

= lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} f_{k} (x) d x

Bestimmtes Integral bestimmen:

\int_{0}^{b} f_{k} (x) d x = \int_{0}^{b} \frac{x}{k + x^{2}} d x

Schritt einblenden / ausblenden

Integration durch Substitution

Durch die Substitution

t = x^{2}

und

d t = 2 x d x

erhält man:

\int \frac{x}{k + x^{2}} d x = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 x}{k + x^{2}} d x = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{k + t} d t

Einsetzen der Integrationsgrenzen in

t = x^{2}

ergibt:

x = 0 \Rightarrow t = 0

x = b \Rightarrow t = b^{2}

Somit lautet das Integral nach der Substitution

\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{b^{2}} \frac{1}{k + t} d t

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{b^{2}} \frac{1}{k + t} d t

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Die Stammfunktion einer Funktion

f (x) = \frac{1}{x + a}

ist gegeben durch:

F (x) = \ln | x + a |

In diesem Fall entfallen die Betragsstriche, da

k + t > 0

= \frac{1}{2} \cdot {[\ln (k + t)]}_{0}^{b^{2}}

= \frac{1}{2} \cdot (\ln (k + b^{2}) - \ln k)

Grenzwert bestimmen:

\Rightarrow A = lim_{b \to \infty} \frac{1}{2} \cdot (\overset{\to \infty}{\overset{︷}{\ln (\underset{\to \infty}{\underset{︸}{k + b^{2}}})}} - \ln k) = \infty

\Rightarrow

Das Flächenstück hat keinen endlichen Inhalt.

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Seien

k_{1}, k_{2} \in ℝ^{+}

mit

k_{1} < k_{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Inhalt

B

der Fläche die im I.Quadranten von

G_{k_{1}}

und

G_{k_{2}}

begrenzt wird, ist gleich dem uneigentlichen Integral der Differenz zwischen

f_{k_{1}}

und

f_{k_{2}}

.

Da

k_{1} < k_{2}

liegt

G_{k_{2}}

unterhalb von

G_{k_{1}}

und deswegen wird die Differenz wie oben beschrieben gebildet und nicht anders herum.

B = \int_{0}^{\infty} (f_{k_{1}} (x) - f_{k_{2}} (x)) d x

= lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} (f_{k_{1}} (x) - f_{k_{2}} (x)) d x

= lim_{b \to \infty} (\int_{0}^{b} f_{k_{1}} (x) d x - \int_{0}^{b} f_{k_{2}} (x) d x)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Es wird das Zwischenresultat aus dem ersten Teil der Aufgabe verwendet:

\int_{0}^{b} f_{k} (x) = \frac{1}{2} (\ln (k + b^{2}) - \ln k)

für beliebiges

k \in ℝ^{+}

= lim_{b \to \infty} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (k_{1} + b^{2}) - \ln k_{1}) - \frac{1}{2} \cdot (\ln (k_{2} + b^{2}) - \ln k_{2}))

= lim_{b \to \infty} (\frac{1}{2} \ln (\frac{k_{1} + b^{2}}{k_{2} + b^{2}}) + \frac{1}{2} \ln \frac{k_{2}}{k_{1}})

= lim_{b \to \infty} (\frac{1}{2} \ln (\frac{(\frac{k_{1}}{b^{2}} + 1) b^{2}}{(\frac{k_{2}}{b^{2}} + 1) b^{2}}) + \frac{1}{2} \ln \frac{k_{2}}{k_{1}})

= lim_{b \to \infty} \frac{1}{2} \underset{\to 0}{\underset{︸}{\ln \underset{\to 1}{\underset{︸}{(\frac{\overset{\to 1}{\overset{︷}{(\frac{k_{1}}{b^{2}} + 1)}}}{\underset{\to 1}{\underset{︸}{(\frac{k_{2}}{b^{2}} + 1)}}})}}}} + \frac{1}{2} \ln \frac{k_{2}}{k_{1}}

= \frac{1}{2} \ln \frac{k_{2}}{k_{1}}

\Rightarrow

Die Fläche hat einen endlichen Inhalt

\frac{1}{2} \ln \frac{k_{2}}{k_{1}}

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

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Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

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Themen dieser Aufgabe:

Uneigentliches Integral

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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