Processing math: 0%

über 250 kostenlose

Abituraufgaben

Lösung als Video

und ausformuliert

Alle Lösungen von

erfahrenen Lehrern

Toggle navigation

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

Themen dieser Aufgabe:

Art von Extrempunkten ermitteln

Lage von Extrempunkten ermitteln

Funktionsgleichung ermitteln

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!

Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (7 BE)

Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von $G_{k}$ . Die Hochpunkte von $G_{k}$ bilden den Graphen einer Funktion $h$ . Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von $h$ .
[Teilergebnis: Hochpunkt bei $x = \sqrt{k}$ ]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Lösung als Video

Art von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

$f_{k} (x) = \frac{x}{k + x^{2}}, k \in ℝ^{+}, D_{f} = ℝ$

Erste Ableitung bilden:

$f^{'} (x) = {(\frac{x}{k + x^{2}})}^{'}$

Schritt einblenden / ausblenden

$= \frac{1 \cdot (k + x^{2}) - x \cdot (2 x)}{{(k + x^{2})}^{2}}$

$= \frac{k - x^{2}}{{(k + x^{2})}^{2}}$

Erste Ableitung Null setzen: $f^{'} (x) = 0$

$\frac{k - x^{2}}{\underset{> 0}{\underset{︸}{{(k + x^{2})}^{2}}}} = 0$

$k - x^{2} = 0$

$x^{2} = k$

$\Rightarrow x_{1, 2}^{E} = \pm \sqrt{k}$

Schritt einblenden / ausblenden

Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmen:

$f^{'} (x) > 0$

$\frac{k - x^{2}}{\underset{> 0}{\underset{︸}{{(k + x^{2})}^{2}}}} > 0$

$k - x^{2} > 0$

Schritt einblenden / ausblenden

$\Rightarrow x > - \sqrt{k}$ und $x < \sqrt{k}$

Die Funktion $f_{k}$ ist streng monoton steigend für $x \in] - \sqrt{k}; \sqrt{k} [$

$f^{'} (x) < 0$

$\frac{k - x^{2}}{\underset{> 0}{\underset{︸}{{(k + x^{2})}^{2}}}} < 0$

$k - x^{2} < 0$

Schritt einblenden / ausblenden

$\Rightarrow x < - \sqrt{k}$ und $x > \sqrt{k}$

Die Funktion $f_{k}$ ist streng monoton fallend für $x \in] - \infty; - \sqrt{k} [\cup] \sqrt{k}; \infty [$

Schritt einblenden / ausblenden

$\Rightarrow$ Die Funktion $f_{k}$ hat an der Stelle $x_{1}^{E} = - \sqrt{k}$ einen Tiefpunkt (Minimum).

$\Rightarrow$ Die Funktion $f_{k}$ hat an der Stelle $x_{2}^{E} = \sqrt{k}$ einen Hochpunkt (Maximum).

Lage von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

$y_{1}^{E} = f (x_{1}^{E}) = f (- \sqrt{k}) = \frac{- \sqrt{k}}{k + (- \sqrt{k})^{2}} = - \frac{\sqrt{k}}{2 k}$

$\Rightarrow T P (- \sqrt{k} | - \frac{\sqrt{k}}{2 k})$ Tiefpunkt

$y_{2}^{E} = f (x_{2}^{E}) = f (\sqrt{k}) = \frac{\sqrt{k}}{k + (\sqrt{k})^{2}} = \frac{\sqrt{k}}{2 k}$

$\Rightarrow H P (\sqrt{k} | \frac{\sqrt{k}}{2 k})$ Hochpunkt

Funktionsgleichung ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

$H P (\underset{x}{\underset{︸}{\sqrt{k}}} | \underset{y}{\underset{︸}{\frac{\sqrt{k}}{2 k}}}) \Leftrightarrow \begin{matrix} x & = & \sqrt{k} \\ y & = & \frac{\sqrt{k}}{2 k} \end{matrix}$

Umformen des y-Wertes:

$\frac{\sqrt{k}}{2 k} \cdot \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k}} = \frac{k}{2 k \sqrt{k}} = \frac{1}{2 \sqrt{k}}$

$\Rightarrow \begin{matrix} 1 . & x & = & \sqrt{k} \\ 2 . & y & = & \frac{1}{2 \sqrt{k}} \end{matrix}$

Einsetzen von $x = \sqrt{k}$ in die zweite Gleichung:

$y = \frac{1}{2 x}$

$\Rightarrow h (x) = \frac{1}{2 x}$ mit $D_{h} = ℝ^{+}$ da $k \in ℝ^{+}$

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

Themen dieser Aufgabe:

Art von Extrempunkten ermitteln

Lage von Extrempunkten ermitteln

Funktionsgleichung ermitteln

Themen-Übersicht

Themen

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!