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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1f  (3 BE)

Bekanntlich ist jede Integralfunktion der Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ auch Stammfunktion von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. Begründen Sie, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat. Geben Sie den Term einer Stammfunktion von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ an, die keine Integralfunktion von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist.

 

Lösung zu Teilaufgabe 1f

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Ist ${\displaystyle {\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\underset{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\overset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ eine beliebige Integralfunktion mit ${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, dann gilt nach dem Hauptsatz der Integralrechnung:

${\displaystyle {\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\underset{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\overset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Für ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist dann ${\displaystyle {\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0}$, also besitzt jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle.

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Erläuterung

Ausgehend von der Integralfunktion ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\underset{0}{\overset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{4}-2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+4{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$ aus Teilaufgabe 1d) addiert man einen positiven Summanden (z.B +1) der Funktion dazu.

Die Funktion ${\displaystyle \mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+1}$ ist weiterhin eine Stammfunktion von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$, denn:

${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=[\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+1{]}^{\prime }={\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Der Graph ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ von ${\displaystyle \mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ ist gleich dem Graphen ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ von ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ um 1 entlang der ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Achse nach oben verschoben.



${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ hat somit keine Nullstellen mehr. Deswegen ist ${\displaystyle \mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ keine Integralfunktion von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$.

Eine Stammfunktion von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ die keine Integralfunktion von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist:

${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{4}-2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+4{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+1}$

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