Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1e (4 BE)

Einer der drei abgebildeten Graphen I, II oder III stellt den Graphen von

F

dar. Geben Sie an, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht in Betracht kommen.

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Eigenschaften der Integralfunktion

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Graph II stellt den Graphen von

F

dar.

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

\int_{0}^{x} f (t) d t = \underset{> 0}{\underset{︸}{- \underset{< 0}{\underset{︸}{\int_{x}^{0} f (t) d t}}}} > 0

für

x < 0

Integriert man die Funktion

f (t)

von 0 bis zu einem negativen

x

, so ist der Integrationsweg negativ und

G_{f}

ist auch negativ zwischen den Integrationsgrenzen.

\Rightarrow

Die Integralfunktion

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t > 0

ist positiv für

x < 0

Graph I ist nicht der Graph der Integralfunktion, da dieser z.B. im III. Quadranten positiv sein muss.

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Aus

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

folgt

F (0) = 0

und

F^{'} = f

.

Hat also

f (x)

3 Nullstellen, so hat

F^{'}

auch höchstens 3 Extrempunkte.

Graph III ist nicht der Graph der Integralfunktion, da

f

nur 3 Nullstellen hat. Der Graph der Integralfunktion kann also nicht 5 Extrempunkte besitzen.

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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