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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 1a  (5 BE)
Die Abbildung zeigt den Graphen G f einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit dem Definitionsbereich D f = ℝ . Die in der Abbildung angegebenen Punkte P ( 1 | 3 ) , N 1 ( 0 | 0 ) , N 2 ( 2 | 0 ) und N 3 ( 4 | 0 ) sind Punkte von G f .

Geben Sie den Funktionsterm von f in der Form f ( x ) = a ( x - b ) ( x - c ) ( x - d ) an, indem Sie passende Werte für a , b , c , d ∈ ℝ ermitteln. Zeigen Sie, dass sich dieser in der Form f ( x ) = x 3 - 6 x 2 + 8 x schreiben lässt.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a
Funktionsgleichung ermitteln



P ( 1 | 3 ) , N 1 ( 0 | 0 ) , N 2 ( 2 | 0 ) , N 3 ( 4 | 0 )

f ( x ) = a ( x - b ) ( x - c ) ( x - d )

Nullstellen einsetzen:
Schritt einblenden / ausblenden
f ( x ) = a ( x - 0 ) ( x - 2 ) ( x - 4 )

Punkt P einsetzen:
Schritt einblenden / ausblenden
3 = f ( 1 ) = a ( 1 ) ( 1 - 2 ) ( 1 - 4 ) = a ( - 1 ) ( - 3 ) = 3 a
3 = 3 a
1 = a

Die Funktionsgleichung lautet somit:

f ( x ) = x ( x - 2 ) ( x - 4 )

Ausmultiplizieren ergibt:

f ( x ) = x ( x - 2 ) ( x - 4 ) = ( x 2 - 2 x ) ( x - 4 ) = x 3 - 4 x 2 - 2 x 2 + 8 x = x 3 - 6 x 2 + 8 x
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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