Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (8 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion

F : x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) d t

mit

D_{F} = ℝ

Berechnen Sie

F (4)

. Was folgt daraus für die beiden Flächenstücke, die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse im I. und im IV. Quadranten einschließt? Begründen Sie Ihre Antwort. Bestimmen Sie nun die Summe der Inhalte dieser beiden Flächenstücke.

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Bestimmtes Integral

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

F : x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) d t, D_{f} = ℝ

f (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 8 t

F (4) = \int_{0}^{4} f (t) d t

= \int_{0}^{4} (t^{3} - 6 t^{2} + 8 t) d t

Schritt einblenden / ausblenden

Stammfunktion

Für eine Potenzfunktion

f (x) = a \cdot x^{n}

mit

a \in ℝ, n \neq - 1

ist eine Stammfunktion

F (x)

gegeben durch die Formel:

F (x) = \int a \cdot x^{n} d x = a \cdot \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

Bei der obigen Polynomfunktion

f (t)

wird jeder Summenterm einzeln hochgeleitet und dann addiert.

\int t^{3} d t = \frac{t^{4}}{4}

\int - 6 t^{2} d t = \frac{- 6 t^{3}}{3}

\int 8 t d t = \frac{8 t^{2}}{2}

= {[\frac{t^{4}}{4} - \frac{- 6 t^{3}}{3} + \frac{8 t^{2}}{2}]}_{0}^{4} = {[\frac{t^{4}}{4} - 2 t^{3} + 4 t^{2}]}_{0}^{4}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= (\frac{4^{4}}{4} - 2 \cdot 4^{3} + 4 \cdot 4^{2}) - \underset{= 0}{\underset{︸}{(\frac{0^{4}}{4} - 2 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2})}}

= 64 - 2 \cdot 64 + 64 = 0

Verhältnis von Teilflächen

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Aus

F (4) = 0

folgt, dass die Flächenstücke die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse im I. und IV. Quadranten einschließt gleich groß sind.

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Das Integral

\int_{0}^{2} f (t) d t

ist gleich der Fläche A die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen 0 und 2 einschließt. Der Wert des Integrals ist positiv.

Das Integral

\int_{2}^{4} f (t) d t

ist gleich der Fläche die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen 2 und 4 einschließt. Der Wert des Integrals ist negativ.

Die Fläche zwischen 0 und 2 ist ebenso groß positiv, wie die Fläche zwischen 2 und 4 negativ.

Flächenberechnung

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A = \int_{0}^{2} f (t) d t

= {[\frac{t^{4}}{4} - 2 t^{3} + 4 t^{2}]}_{0}^{2}

= \frac{2^{4}}{4} - 2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 0

= 4 - 16 + 16 = 4

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow A + B = 2 \cdot A = 2 \cdot 4 = 8

Die Summe der beiden Flächenstücke ist gleich 8.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

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Themen dieser Aufgabe:

Bestimmtes Integral

Verhältnis von Teilflächen

Flächenberechnung

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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