Abitur 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

Die Abbildung zeigt den Graphen

G_{f}

einer ganzrationalen Funktion

f

dritten Grades mit dem Definitionsbereich

D_{f} = ℝ

. Die in der Abbildung angegebenen Punkte

P (1 | 3), N_{1} (0 | 0), N_{2} (2 | 0)

und

N_{3} (4 | 0)

sind Punkte von

G_{f}

Teilaufgabe 1a (5 BE)

Geben Sie den Funktionsterm von

f

in der Form

f (x) = a (x - b) (x - c) (x - d)

an, indem Sie passende Werte für

a, b, c, d \in ℝ

ermitteln. Zeigen Sie, dass sich dieser in der Form

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x

schreiben lässt.

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Weisen Sie nach, dass

N_{2}

Wendepunkt von

G_{f}

ist, und ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen Wendetangente.

[Zur Kontrolle: Tangentengleichung

y = - 4 x + 8

]

Teilaufgabe 1c (4 BE)

Die Wendetangente schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Bestimmen Sie die Innenwinkel dieses Dreiecks.

Betrachtet wird nun die Integralfunktion

F : x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) d t

mit

D_{F} = ℝ

Teilaufgabe 1d (8 BE)

Berechnen Sie

F (4)

. Was folgt daraus für die beiden Flächenstücke, die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse im I. und im IV. Quadranten einschließt? Begründen Sie Ihre Antwort. Bestimmen Sie nun die Summe der Inhalte dieser beiden Flächenstücke.

Teilaufgabe 1e (4 BE)

Einer der drei abgebildeten Graphen I, II oder III stellt den Graphen von

F

dar. Geben Sie an, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht in Betracht kommen.

Teilaufgabe 1f (3 BE)

Bekanntlich ist jede Integralfunktion der Funktion

f

auch Stammfunktion von

f

. Begründen Sie, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat. Geben Sie den Term einer Stammfunktion von

f

an, die keine Integralfunktion von

f

ist.

In der Medizin wird radioaktives Jod-123 zur Untersuchung der Schilddrüse eingesetzt. Kurze Zeit nach der Verabreichung dieser Substanz an den Patienten wird die von der Substanz ausgehende Strahlung gemessen, wodurch Rückschlüsse auf den Zustand der Schilddrüse möglich sind.
Durch radioaktiven Zerfall verringert sich die Substanzmasse.
Die im Körper des Patienten noch vorhandene Masse

m

des verabreichten Jod-123 lässt sich durch den Term

m (t) = m_{0} \cdot e^{- k t}

mit

k > 0

beschreiben. Dabei gibt

m_{0}

die zum Zeitpunkt

t = 0

verabreichte Jodmasse an;

t

ist die Maßzahl der seit Verabreichung vergangenen Zeit in Stunden.

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Nach einer Zeit von 13,2 Stunden ist nur noch die Hälfte der verabreichten Jodmasse vorhanden. Bestimmen Sie hieraus den Wert des Parameters

k

.

[Zur Kontrolle:

k \approx 0, 0525

]

Teilaufgabe 2b (6 BE)

Wie viel Prozent der verabreichten Jodmasse sind vier Stunden nach Verabreichung im Körper des Patienten noch vorhanden? Wie lange dauert es, bis

90 %

der verabreichten Jodmasse zerfallen sind?

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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