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Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b  (5 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.
[mögliches Ergebnis:  ${\displaystyle 2x_1+x_2-3x_3-3=0}$ ]

 

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Ebenengleichung in Normalenform

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Ebenengleichung

Zunächst stellt man die Ebenengleichung in Parameterform auf.
Man wählt einen Ortsvektor (hier A), den Richtungsvektor einer der beiden Geraden (hier  ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 5\end{array}\right)}$  für beide Geraden gleich) als ersten Richtungsvektor und berechnet den Vektor, der sich aus den beiden Ortsvektoren ergibt, um ihn als zweiten Richtungsvektor der Ebene zu verwenden (hier  ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)}$ )

 ${\displaystyle E_{g,h}^P:\stackrel{\to }{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)+\alpha \left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 5\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)}$ 

 ${\displaystyle E_{g,h}^P:\stackrel{\to }{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)+\alpha \left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 5\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)}$ 

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Ebenengleichung

Um die Ebenengleichung in Parameterform in die Ebenengleichung in Normalenform umzuformen, benötigt man den Normalenvektor  ${\displaystyle \stackrel{\to }{n}}$ .

Normalenform einer Ebene:    ${\displaystyle \stackrel{\to }{n}\circ \left(\stackrel{\to }{x}-\stackrel{\to }{a}\right)=0}$ 

Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf der Ebene und damit auch senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren.

Das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Richtungsvektor ist jeweils gleich 0.

Der Normalenvektor ist ein Vielfaches des Vektorprodukts aus den beiden Richtungsvektoren.

 ${\displaystyle \stackrel{\to }{n}=k\left(\stackrel{\to }{u}\times \stackrel{\to }{v}\right)}$ 

 ${\displaystyle \stackrel{\to }{u}\times \stackrel{\to }{v}=\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 5\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)}$ 

 ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{u}_2{v}_3-u_3{v}_2\\ u_3{v}_1-u_1{v}_3\\ u_1{v}_2-u_2{v}_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\text{·}0-5\text{·}2\\ 5\text{·}\left(-1\right)-7\text{·}0\\ 7\text{·}2-1\text{·}\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-10\\ -5\\ 15\end{array}\right)}$ 

 ${\displaystyle \stackrel{\to }{n}=k\left(\begin{array}{c}-10\\ -5\\ 15\end{array}\right)}$ 

 ${\displaystyle \stackrel{\to }{n}=-\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}-10\\ -5\\ 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)}$ 

 ${\displaystyle E^N:\stackrel{\to }{n}\circ \left(\stackrel{\to }{x}-\stackrel{\to }{a}\right)=0}$ 

 ${\displaystyle E^N:\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)\circ \left(\stackrel{\to }{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)\right)=0}$ 

 ${\displaystyle E^N:\stackrel{\to }{x}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)-3=0}$ 

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